圆锥曲线练习题(含详细解析).doc

基本素能训练一、选择题1(2012东北四校模拟)已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A(，2) B(1，)C(1,2) D(，1)答案C解析由题意可得，2k12k0，即解得1k0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案C解析eb2a2a2，即渐近线方程为yx.3(2013湛江测试)从抛物线y28x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则PFM的面积为()A5 B6C10 D5答案A解析抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x2.设P(m，n)，则|PM|m25，解得m3.代入抛物线方程得n224，故|n|2，则SPFM|PM|n|525.4(2013新课标文，8)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2C2 D4答案C解析设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|x04，x03，代入抛物线的方程，得|y0|2，SPOF|y0|OF|2，选C.5(文)(2013新课标理，10)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析设A点坐标的(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，两式相减得，即，x1x22，y1y22，k，又k又c2a2b22b2b2b2，c29，b29，a218，即标准方程为1，故选D.(理)(2012太原模考)已知椭圆C1：1(a1b10)和椭圆C2：1(a2b20)的焦点相同且a1a2，给出如下四个结论：椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；aabb；a1a2a2，可知两椭圆无公共点，即正确；又aabb，知正确；由abab，可得abba，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，不正确，即不正确；a1b10，a2b20，a1a2b1b20，而又由(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)，可得a1a20，b0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为()A2B 5C3D2或5答案B解析由双曲线定义得|PF2|2a|PF1|，|PF1|4a，其中|PF1|ca.当ca2a时，yx在ca，)上为减函数，没有最小值，故ca2a，即c3ae3，yx在ca，)上为增函数，故f(x)minf(ca)ca4a9a，化简得10a27acc20，两边同除以a2可得e27a100，解得e5或e2(舍去)二、填空题7(2013安徽理，13)已知直线ya交抛物线yx2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_答案a1解析不妨设A(，a)，B(，a)，C(x0，x)，则(x0，ax)，(x0，ax)，ACB90.(x0，ax)(x0，ax)0.xa(ax)20，则xa0.(ax)(ax1)0，ax10.xa1，又x0.a1.8(2013天津文，11)已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_答案x21解析抛物线y28x的准线方程为x2，则双曲线的一个焦点为(2,0)，即c2，离心率e2.a1，由a2b2c2得b23，所以双曲线的方程为x21.三、解答题9(文)(2013厦门质检)已知双曲线的方程是16x29y2144.(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|32，求F1PF2的大小解析(1)由16x29y2144得1，a3，b4，c5，焦点坐标F1(5,0)，F2(5,0)，离心率e，渐近线方程为yx.(2)由(1)知|PF1|PF2|6，cosF1PF20，F1PF2(0,180)，F1PF290.(理)(2013广东理，20)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA、PB，其中A、B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值 解析(1)依题意，设抛物线C的方程为x24cy，由结合c0，解得c1.所以抛物线C的方程为x24y.(2)抛物线C的方程为x24y，即yx2，求导得yx设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20因为切线PA、PB均过点P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20所以(x1，y1)、(x2，y2)为方程x0x2y02y0的两组解所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1联立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0由一元二次方程根与系数的关系可得y1y2x2y0，y1y2y所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0y02，所以yx2y012y2y052(y0)2所以当y0时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为.10(文)(2013安徽理，18)设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q，证明：当a变化时，点P在某条定直线上解析(1)因为椭圆E的焦点在x轴上，焦距为1，所以2a21，解得a2.故椭圆E的方程为1.(2)设P(x0，y0)， F1(c,0)，F2(c,0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P.直线F2P的斜率kF2P.故直线F2P的方程为y(xc)当x0时，y，即点Q坐标为(0，)因此，直线F1Q的斜率为kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得yx(2a21)将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上(理)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，并且直线yxb是抛物线y24x的一条切线(1)求椭圆的方程；(2)过点S(0，)的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解析(1)由消去y得x2(2b4)xb20，因为直线yxb与抛物线y24x相切，所以(2b4)24b20，解得b1.因为e，所以a.故所求椭圆方程为y21.(2)当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2(y)2()2.当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2y21.由解得即两圆相切于点(0,1)，因此，所求的点T如果存在，只能是(0,1)事实上，点T(0,1)就是所求的点，证明如下：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(0,1)若直线l不垂直于x轴，可设直线l的方程为ykx，由消去y得(18k29)x212kx160.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又因为(x1，y11)，(x2，y21)，所以x1x2(y11)(y21)x1x2(kx1)(kx2)(1k2)x1x2k(x1x2)(1k2)k0，所以TATB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,1)，所以在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.能力提高训练一、选择题1(2013新课标理，11)设抛物线C：y23px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x y22x或y28xCy24x或y216x y22x或y216x答案C解析由已知F(p,0)，A(0,2)，M(，y0)，AFAM，kAFkAM1，即1，y8y0160，y04，M(，4)，|MF|5，5，(p)29.3或3，9p236p640，或9p236p640，由得p(舍)，p.由得p(p舍)，c的方程为y24x或y216x.2(2013哈尔滨模拟)已知P是双曲线1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且0，若PF1F2的面积为9，则ab的值为()A5B6C7D8答案C解析由0得，设|m，|n，不妨设mn，则m2n24c2，mn2a，mn9，解得b3，ab7，故选C.3已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)则该椭圆的离心率的取值范围是()A(，) (，)C(，) (，1)答案C解析设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|PF1|2a|PF2|2a2c10，得到ac50，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以12，c，椭圆的离心率e1，且1，该椭圆的离心率的取值范围是(，)4(2013天津六校联考)若双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成32的两段，则此双曲线的离心率为()A. .C. .答案D解析由条件知，bc，a2c2b2c2c2c2，e.5(文)(2013全国大纲理，8)椭圆C：1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A， ，C，1 ，1答案B解析如图：A1(2,0)，A2(2,0)直线A2M的方程为y(x2)，即y2x，代入椭圆方程1中消去y得，7x216x40，2x，x，M点坐标为(，)同理可得N点坐标为(，)kA1M，kA1N，直线PA1斜率的取值范围是，(理)(2013浙江理，9)如图，F1、F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. .C. .答案D解析不妨设双曲线方程为1.由题意知|BF1|BF2|2a|BF1|2|BF2|22|BF1|BF2|4a2，并由勾股定理得|BF1|2|BF2|24c212，由知124a22|BF1|BF2|，|BF1|BF2|62a2.下面求|BF1|BF2|的值在椭圆中|BF1|BF2|4，故|BF1|2|BF2|22|BF1|BF2|16，又由知|BF1|2|BF2|24c212，|BF1|BF2|2，因此有c2a21，c23，a22，C2的离心率e.6(2013德州模拟)设F1、F2分别是椭圆E：x21(0b0)的准线与x轴交于点M，过点M作直线l交抛物线于A、B两点(1)若线段AB的垂直平分线交x轴于N(x0,0)，求证：x03p；(2)若直线l的斜率分别为p，p2，p3，时，相应线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，当0p0，得0k21.令A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x22p)，AB的中点坐标为(，)，AB的垂直平分线方程为y(x)，令y0，得x0p，由上可知0k2p2p3p，x03p.(2)l的斜率分别为p，p2，p3，时，对应线段AB的中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，(0pb0)的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y1上，且椭圆的离心率e.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQy轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OMMN.解析(1)依题意，得b1.e，a2c2b21，a24.椭圆的标准方程为y21.(2)证明：设P(x0，y0)，x00，则Q(0，y0)，且y1.M为线段PQ中点，M(，y0)又A(0,1)，直线AM的方程为yx1.x00，y01，令y1，得C(，1)又B(0，1)，N为线段BC的中点，N(，1)(，y01)()y0(y01)yy0(y)y01(1y0)y00，OMMN.(理)(2012山西四校联考)已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x3)2(y1)23相切(1)求椭圆C的方程；(2)