2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答.pdf

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 四川延考卷 数 学 文科 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 四川延考卷 数 学 文科 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 集合 1 0 1 A A的子集中 含有元素 0 的子集共有 A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 解 A的子集共 3 28 个 含有元素 0 的和不含元素 0 的子集各占一半 有 4 个 选 B 2 函数1lgyxx 的定义域为 A 0 B 1 C 0 1 D 0 1 解 选 D 由 10 0 x x 01x 3 4 1 1 1 x x 的展开式中含 2 x项的系数为 A 4 B 5 C 10 D 12 解 选 C 412233 444 11 1 1 1 1 xC xC xC x xx 其展开式中含 2 x项的系数为 23 44 10CC 4 不等式21x 的解集为 A 13 xx B 02 xx C 12 xx D 23 xx 解 选 A 21x 121x 13x 5 已知 1 tan 2 则 cossin cossin A 2 B 2 C 3 D 3 解 选 C cossin1tan 3 cossin1tan 6 一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径 该正三棱锥的高等于这个球的直径 则球 的体积与正三棱锥体积的比值为 A 8 3 3 B 3 3 C 3 2 D 8 3 解 设球的半径为r 3 1 4 3 Vr 正三棱锥的底面面积 2 3 4 Sr 2hr 23 2 133 2 346 Vrrr 所以 1 2 8 3 3 V V 选 A 7 若点 2 0 P到双曲线 22 22 1 xy ab 的一条渐近线的距离为2 则双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 2 2 D 2 3 解 设过一象限的渐近线倾斜角为 2 sin451 2 k 所以 b yxx a ab 因此2 2 c ca e a 选 A 8 在一次读书活动中 一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本 则所 选的书中既有科技书又有文艺书的概率为 A 1 5 B 1 2 C 2 3 D 4 5 解 因文艺书只有 2 本 所以选 3 本必有科技书 问题等价于选 3 本书有文艺书的概率 3 4 3 6 44 1 11 205 C P AP A C 9 过点 0 1 的直线与圆 22 4xy 相交于A B两点 则AB的最小值为 A 2 B 2 3 C 3 D 2 5 解 如图AB最小时 弦心距最大为 1 22 2 212 3AB 10 已知两个单位向量a 与b 的夹角为 3 则ab 与ab 互相垂直的充要条件是 A 3 2 或 3 2 B 1 2 或 1 2 C 1 或1 D 为任意实 数 解 22 22 1 1 0abababababa ba b 2 0101a b 另外a 与b 是夹角为 3 的单位向量 画图知1 时 ab 与ab 构成菱形 排除 AB 而 D 选项明显不对 故选 C 11 设函数 yf x xR 的图像关于直线0 x 及直线1x 对称 且 0 1 x 时 2 f xx 则 3 2 f A 1 2 B 1 4 C 3 4 D 9 4 解 2 3311111 1 1 2222224 fffff 12 在正方体 1111 ABCDABC D 中 E是棱 11 AB的中点 则 1 AB与 1 D E所成角的余弦值 为 A 5 10 B 10 10 C 5 5 D 10 5 解 如图以 D 为坐标系原点 AB为单位长 1 DA DC DD分别为 x y z轴建立坐标系 易见 1 0 1 1 AB 1 1 1 0 2 D E 所以 11 11 0 1 1 1 0 10 22 cos 110 5 0 1 1 1 0 2 2 4 AB D E 选 B 如果连结 1 DC EC 用余 弦定理解三角形也可以求得答案 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 函数 1 1 x ye xR 的反函数为 解 11 111ln 1 xx yeeyxy 所以反函数ln 1 1 1 yxx 14 函数 2 3sincosf xxx 的最大值是 解 因为3sin3x 2 cos0 x 2 3sincos3f xxx 正好sin1 cos0 xx 时取等号 另 222 37 3sincossin3sin1 sin 24 f xxxxxx 在sin1x 时取最 大值 15 设等差数列 n a的前n项和为 n S 且 55 Sa 若 4 0a 则 7 4 a a 解 5512341423 00Saaaaaaaaa 取特殊值 令 23 1 1 aa 4 3a 741 29aaa 所以 7 4 3 a a 16 已知90AOB C为空间中一点 且60AOCBOC 则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为 解 由对称性点C在平面AOB内的射影D必在AOB 的平分线上 作DEOA 于E 连结CE则由三垂线定理CEOE 设1DE 1 2OEOD 又60 2COECEOEOE 所以 22 2CDOCOD 因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值 2 sin 2 COD 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在ABC 中 内角A B C对边的边长分别是a b c 已 知 222 2acb 若 4 B 且A为钝角 求内角A与C的大小 求sinB的最大值 解 由题设及正弦定理 有 222 sinsin2sin1ACB 故 22 sincosCA 因为A为钝角 所以sincosCA 由coscos 4 AC 可得sinsin 4 CC 得 8 C 5 8 A 由余弦定理及条件 222 1 2 bac 有 22 cos 4 ac B ac 因 22 2acac 所以 1 cos 2 B 故 3 sin 2 B 当ac 时 等号成立 从而 sinB的最大值为 3 2 18 本小题满分 12 分 一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类 A类 B类 C类 检 验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检 若发现其中含有C类产品或2件都是B 类产品 就需要调整设备 否则不需要调整 已知该生产线上生产的每件产品为A类品 B 类品和C类品的概率分别为0 9 0 05和0 05 且各件产品的质量情况互不影响 求在一次抽检后 设备不需要调整的概率 若检验员一天抽检 3 次 求一天中至少有一次需要调整设备的概率 解 设 i A表示事件 在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品 1 2i i B表示事件 在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品 1 2i i C表示事件 一次抽检后 设备不需要调整 则 121212 CA AA BBA 由已知 0 9 i P A 0 05 i P B 1 2i 所以 所求的概率为 121212 P CP A AP A BP BA 2 0 92 0 9 0 050 9 由 知 一次抽检后 设备不需要调整的概率为 0 9P C 故所求概率为 3 1 0 90 271 19 本小题满分 12 分 如图 一张平行四边形的硬纸片 0 ABC D中 1ADBD 2AB 沿它的对角线BD把 0 BDC 折起 使点 0 C到达平面 0 ABC D外点C的位置 证明 平面 0 ABC D 平面 0 CBC 当二面角ABDC 为120 时 求AC的长 解 证明 因为 0 1ADBCBD 0 2ABC D 所以 0 90DBC 因为折叠过程中 0 90DBCDBC 所以DBBC 又 0 DBBC 故DB 平面 0 CBC 又DB 平面 0 ABC D 所以平面 0 ABC D 平面 0 CBC 解法一 如图 由 知BCDB 0 BCDB 所以 0 CBC 是二面角 0 CBDC 的平面角 由已知得 0 60CBC 作 0 CFC B 垂足为F 由 0 1BCBC 可得 3 2 CF 1 2 BF 连结AF 在ABF 中 222 1113 2 22cos135 224 AF 因为平面 0 ABC D 平面 0 CBC 所以CF 平面 0 ABC D 可知CFAF 在Rt AFC 中 22 133 2 44 ACAFCF 解法二 由已知得 0 90ADBDBC 以D为原点 射线DA DB分别为x y轴的正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 则 1 0 0 A 0 1 0 B 0 1 1 0 C 0 0 0 D 由 知BCDB 0 BCDB 所以 0 CBC 为二面角 0 CBDC 的平面角 由已知可得 0 60CBC 所以 13 1 22 C 所以 22 13 1 1 2 22 AC 即AC的长为 2 20 本小题满分 12 分 在数列 n a中 1 1a 2 1 1 2 1 nn aa n 证明数列 2 n a n 是等比数列 并求 n a的通项公式 令 1 1 2 nnn baa 求数列 n b的前n项和 n S 求数列 n a的前n项和 n T 解 由条件得 1 22 1 1 2 nn aa nn 又1n 时 2 1 n a n 故数列 2 n a n 构成首项为 1 公式为 1 2 的等比数列 从而 21 1 2 n n a n 即 2 1 2 n n n a 由 22 1 21 222 n nnn nnn b 得 2 3521 222 n n n S 231 1352121 22222 n nn nn S 两式相减得 231 1311121 2 222222 n nn n S 所以 25 5 2 n n n S 由 23112 1 2 nnn Saaaaaa 得 11 1 2 nnnn TaaTS 所以 11 222 nnn TSaa 2 1 46 12 2n nn 21 本小题满分 12 分 已知椭圆 1 C的中心和抛物线 2 C的顶点都在坐标原点O 1 C和 2 C 有公共焦点F 点F在x轴正半轴上 且 1 C的长轴长 短轴长及点F到 1 C右准线的距离 成等比数列 当 2 C的准线与 1 C右准线间的距离为 15 时 求 1 C及 2 C的方程 设过点F且斜率为 1 的直线l交 1 C于P Q两点 交 2 C于M N两点 当8MN 时 求PQ的值 解 设 1 C 22 22 1 xy ab 0 ab 其半焦距为c 0 c 则 2 C 2 4ycx 由条件知 2 2 2 2 a bac c 得2ac 1 C的右准线方程为 2 a x c 即4xc 2 C的准线方程为xc 由条件知515c 所以3c 故6a 3 3b 从而 1 C 22 1 3627 xy 2 C 2 12yx 由题设知l yxc 设 11 M x y 22 N xy 33 P xy 44 Q xy 由 2 4ycx yxc 得 22 60 xcxc 所以 12 6xxc 而 12 28MNMFFNxxcc 由条件8MN 得1c 由 得2a 3b 从而 1 C 22 1 43 xy 即 22 3412xy 由 22 3412 1 xy yx 得 2 7880 xx 所以 34 8 7 xx 34 8 7 x x 故 22 34 8824 2 2 4 777 PQxx 22 本小题满分 14 分 设函数 32 2f xxxx 求 f x的单调区间和极值 若当 1 2 x 时 3 3af x 求ab 的最大值 解 2 32