巧用中考试题进行中考复习_1.pdf

巧用中考试题进行中考复习 1 100048 首师大附中 张文娣 中考将至 毕业班的老师 学生 家长都在为中考而忙 碌 忙着上课 补课 做题 备战中考 真是苦不堪言 实 际上 用时不在多 用心则灵 做题不在多 有法则灵 纵观近几年全国各地中考试卷 试题数量一般在 22 28个不等 题目考查知识不同 即使考查知识相同 或类似 问题的呈现形式又不相同 可以是填空 选择 题 也可以是解答 证明题 还可以是探究题 但所考查 的知识 方法都是 课程标准 中规定的基本知识和常用 方法 如何使用中考试题 在日常教学中 发现许多类似 问题 经常出现于教科书和各地中考试题中 教师若能 及时搜集 探究它们之间的区别和联系 经常引导学生 进行 小题大做 便可达到做一题 会一法 通一类的 效果 实现 复习旧知 激发兴趣 挖掘潜能 提升能力 之目的 下面通过 一道中考试题的演变 介绍一种 小题 大做 变式复习 的方法 感悟中考试题在中考复习中 的魅力 图 1 试题 2008年山东省日照市 中考试题 20题 如图 1 在 梯形 ABCD 中 AB CD A 90 AB 2 BC 3 CD 1 E是 AD中点 求证 CE BE 1 多证变式 证法 1 试题参考解答及评 分意见中提供的证明方法 过点 C作 CF AB 垂足为 F 如图 2 在梯形 ABCD 中 AB CD A 90 D A CFA 90 四边形 AFCD 是矩形 AD CF BF AB AF 1 图 2 在 Rt BCF 中 CF 2 BC 2 BF 2 8 CF 2 2 AD CF 22 E是 AD 中点 DE AE 1 2AD 2 在 Rt ABE和 Rt DEC中 EB 2 AE 2 AB 2 6 EC 2 DE 2 CD 2 3 CEB 90 EB 2 EC 2 9 BC2 EB EC 点评 证法 1是根据已知中含有 A 90 AB CD 的特点 利用直角三角形的性质 勾股定理 求得线 段 BE CE的长 再在 BCE 中利用勾股定理逆定理得 到 CEB 90 从而证得 EB EC 图 3 此题也可以过点 D 作 DF BC交 AB于点 F 如图 3 得平行 四边形 BCDF 和 R t AFD 由 DF BC 3 AF AB BF AB DC 2 1 1 在 Rt AFD 中由勾股 定理直接求得 AD 2 2 分析 根据证 法 1 得到启 示 在求得 DE AE 1 2 AD 2后 可以根据两边的比 相等 且夹角也相等的两个三角形相似 即由DE DC AB AE 2 1 且 D A 90 证得 ABE DEC 如图 2 再根据 相似 三 角形 的对 应 角相 等 得 CED ABE 22 2011年第 5期 初中版 名师课堂 又因为在 Rt ABE中 AEB ABE 90 所以 CED AEB 90 由点 E在 AD 上 知 CEB 90 证法 2 证明 ABE DEC 如图 1 略 分析 观察试题已知中含有 在梯形 ABCD 中 E是 AD 中点 由梯形中常规添加辅助线的方法 延长 CE交 BA 的延长线于点 F 如图 4 可得 AEF DEC ASA 或 AAS 由全等三角形的性质得 EF EC AF DC 在 BCF中 已知 EF EC 要证 EB EC 只要证明 BCF 为等腰三角形 即 BC BF即可 已知 AB 2 BC 3 CD 1 又 AF DC 所以 BF AB AF AB DC 2 1 3 BC 根据等腰三角形底边上的中线也是底边上的高便 得 EB EC 图 4 证法 3 延长 CE 交 BA 的延长线于点 F 如图 4 AB CD EAF EDC E是 AD 中点 AE DE 在 AEF 和 DEC 中 EAF EDC AE DE AEF DEC AEF DEC ASA EF EC AF DC AB 2 BC 3 CD 1 BF BA AF AB DC 2 1 3 BC EB EC 分析 根据 E是 AD 中点 构建梯形中位线 利用 梯形中位线性质证明 证法 4 取 BC中点 F 连接 EF 如图 5 则 CF BF 1 2BC 3 2 图 5 E是 AD 中点 AB CD EF是梯形 ABCD的中位线 EF 1 2 AB CD 1 2 2 1 3 2 CF BF EF 1 2 3 4 在 BCE中 1 2 3 4 180 2 4 90 EB EC 证法 5 前面同证法 4 CF BF EF 点 B C E在以点 F为圆心 BF长为半径的 F上 又 BC 2BF 即 BC是 F的直径 BEC 90 直径所对的圆周角是直角 EB EC 分析 观 察试 题已 知 中含 有 AB CD A 90 利用数形结合思想和代数方法解几何题策略 建 立平面直角坐标系 转化为一次函数问题求解 图 6 证 法 6 因 为 A 90 所以 可以以点 A 为原 点 AB 方 向为 x 轴 的正方 向 AD 方向为 y 轴的正方 向 建 立平 面直 角 坐 标系 如图 6 因为 AB CD A 90 AB 2 BC 3 CD 1 同证法 1求得 AD 2 2 AE 2 由此可得 B 3 0 C 1 2 2 E 0 2 设直线 CE的解析式为 y k1x b1 k1 0 将 C 1 2 2 E 0 2 代入得 b1 2 k1 b1 2 2 23 名师课堂 2011年第 5期 初中版 解得 k1 2 b1 2 所以直线 CE的解析式为 y 2x 2 同理可求直线 BE的解析式为 y 2 2 x 2 因为 2 2 2 1 所以 CE BE 点评 纵观证法 1到证法 6 证法 1 证法 2和证法 6用的主要信息是 A 90 没有 A 90 就没有证法 1 证法 2和证法 6 证法 3 用的 主要信 息是 BC AB DC 再利用 AEF DEC的判定和性质及等腰三角形的性质求证 结论成立 证法 4用的主要信息也是 BC AB DC 再利用梯 形中位线性质和等腰三角形性质达到证明之目的 证法 5在用了信息 BC AB DC之后 又用了圆的 有关知识完成了证明 证法 3 证法 4 证法 5没有用到 A 90 说明 试 题 已知中的 A 90 对于证法 3 证法 4 证法 5是多 余的 2 条件变式 变式 1 试题中删除 A 90 如图 7 在梯形 AB CD 中 AB CD AB 2 BC 3 CD 1 E 是 AD 中点 求证 CE BE 可用两种方法证法变式 1 参照上述证法 3和证法 4 图 7 变式 2 把变式 1中的 AB 2 BC 3 CD 1 换 成 BC AB DC 如 图 7 在 梯 形 ABCD 中 AB CD BC AB DC E 是 AD 中点 求证 CE BE 证明同变式 1 两种 点评 通过对变式 2的证明发现 在证明 CE BE 的同时 还可以得到 CE 平分 BCD BE平分 ABC 因 此 可得下面的填空题 3 题型变式 变式 3 如图 7 在梯形 ABCD 中 AB CD BC AB DC E 是 AD 中点 则下列结论中 CE BE CE 平分 BCD BE 平分 ABC BCE是直角三角形 正确的结论有 分析 由变式 2的证明易知答案 点评 日常学习中 若对典型题目 图形有一定的 关注 重要结论有一定的了解 在今后的解题中用 经 验 解题 特别是解答选择题或填空题是大有益处的 即 快又准 4 结论变式 变式 4 如图 7 在梯形 ABCD 中 AB CD BC AB DC E 是 AD 中点 求证 CE平分 BCD 可用两种方法证明变式 4 参照上述证法 3和证法 4 5 逆向变式 变式 5 如图 7 在梯形 ABCD 中 AB CD CE平分 BCD E是 AD 中点 求证 BC AB DC 把变式 4中的 BC AB DC 与结论 CE平分 BCD 交换 分析 本题证明方法有两种 仿照 试题 的证法 3 4 证法 1 延长 CE 交 BA 的延长线于点 F 如图 8 图 8 AB CD 1 F CE平分 BCD 1 2 2 F BC BF E是 AD 中点 AE DE 在 AEF和 DEC中 24 2011年第 5期 初中版 名师课堂 F 1 AE DE AEF DEC AEF DEC AAS EF EC AF DC BF AB AF AB DC 又 BC BF 已证 图 9 BC AB DC 证法 2 取 BC 中点 F 连接 EF 如图 9 则 CF BF 1 2BC E是 AD 中点 AB CD EF是梯形 ABCD 的中位线 EF 1 2 AB CD EF DC AB 1 3 CE平分 BCD 1 2 2 3 EF CF 又 EF 1 2 AB CD CF BF 1 2BC 1 2BC 1 2 AB CD BC AB DC 点评 把题设中的一个条件与结论交换得到的命 题是原命题的逆命题 试写出变式 2或变式 4的一个逆 命题并证明 6 综合变式 变式 6 如图 10 在梯形 ABCD 中 AB CD A 90 AB 2 BC 3 CD 1 在线段 AD 上是否存在一点 E 使 BCE是直角三角形 若存在 求出 AE的长 若不 存在 说明理由 删除 试题 中的 E 是 AD 中点 并 改变问法 图 10 分析 由前面的 试题 可 知 存在 当 E 是 AD 中点 即 AE 2 时 BEC 90 但变式 6说 的是 使 BCE 是直角三角形 所以应对 BCE的三个内角进行 分类讨 论 由梯 形 ABCD 可 知 ABC为锐角 因为点 E 在线段 AD 上 所以 EBC 也必为锐角 因此 本题应分为两种 情况进行分类讨论 解 存在 在图 2求得 AD 22时 设 AE x 则 DE 2 2 x AB CD A 90 D 90 AB 2 BC 3 CD 1 在 Rt ABE中 BE 2 AB 2 AE2 2 2 x 2 在 Rt CDE中 CE 2 CD 2 DE 2 1 2 2 2 x 2 当 BEC 90 时 BCE是直角三角形 在 Rt CBE 中 BC 2 EB 2 CE 2 3 2 2 2 x 2 1 2 2 2 x 2 展开 整理 得 x 2 2 2x 2 0 解得 x1 x2 2 当 ECB 90 时