复变函数习题三.docx

习 题 三 ()1. 下列数列是否收敛?如果收敛，求出它们的极限.（1）; （2）;（3）; （4）解 化为实部与虚部两个实数分别讨论. 1）， 故收敛于.2） 故收敛于零。3) ，极限不唯一，所以发散.4），极限为0，收敛.2. 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性.（1） ; （2）;（3）; （4）解 (1)一般项，而，为收敛的交错级数，所以收敛.但，发散，故条件收敛.(2) 因为级数, , 所以， 由比值收敛法得收敛，所以原级数绝对收敛.(3) 因为,所以原级数是发散的.(4) 一般项，而，为收敛的交错级数，所以收敛，但， 所以发散，故条件收敛.3. 试确定下列幂级数的收敛半径.（1）; （2）;（3）； （4）解 (1) , 所以此级数的收敛半径.(2) , 所以此级数的收敛半径.(3) , 所以此级数收敛半径为. (4) , 所以此级数收敛半径为.4. 把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径.（1） ; （2）;（3）； （4）;（5）； （6） ;（7）; （8）. 解 (1) ,即，所以其收敛半径为.(2) 由, 所以 ，收敛半径.(3) 由 得 ，收敛半径.(4) 由 及得 ，收敛半径.(5) .(6) ，则, .(7) 由 得而 故 , 收敛半径. （8）.5求下列各函数在指定点处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径.（1），; （2），;（3）， ; （4）， ;（5），; （6），解 (1) , .(2) 当，即时 当，即时 故当时，上式两展开式同时成立，即有收敛半径.(3) 由 两边求导得 收敛半径.(4) 这里或，收敛半径.(5) ，收敛半径.(6) 收敛半径为.6求下列罗朗级数的收敛域.（1）；（2），解 (1) 由题可知此罗朗级数应满足 和都收敛，因此有 ，得收敛域为.(2) 由题可知此罗朗级数应满足和都收敛.因此有, 得收敛域为 .7把下列各函数在指定的圆环域内展开成罗朗级数.（1），;（2），;（3），;（4）， ;（5），;（6）， ，;（7）， ;（8）, 解 (1) .(2) 当时，由两边求导得 所以当时， 从而.(3) 当时,原式 , .当时,原式 , .(4) =. (5) 当时，即原式 .当时，即原式 (6) 当时，则,当时，则 .(7) ，当时，而 ，,则 .(8) =.习 题 三 ()1. 考察级数的敛散性.解：因为 发散，故发散2. 证明: 如果 , 那么.证：因为所以 ，当时,成立又因为所以 .3. 幂级数能否在收敛而在发散?答：不能，因为在收敛，根据阿贝尔定理，级数必在内绝对收敛，而在圆域内，故该级数在处收敛。4. 将及展为的幂级数.解：（1）= = = . 解法二：在复平面上解析，其幂级数展开式的收敛半径R=+，又因为 =esin, = = f(z)=esin 故f=esin,从而 esinz=解法三：因为e=1+z+， 故由幂级数的乘法法则得 同理：= = = = 5. 试确定下列幂级数的收敛半径.（1）; （2）. 解：(1)因为 ，所以 . (2)因为 ，所以 .6. 记 , 由公式, 借助级数收敛的充要条件, 证明: 当时,（1）; （2）.证明：因为 7. 将下列函数展为幂级数.（1）; （2）; （3