2014年高考理科数学(广东卷)试题及详细答案.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则A B C D2已知复数满足，则A B C D3若变量满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则A5 B6 C7 D84若实数满足，则曲线与曲线的A焦距相等 B实半轴长相等 C虚半轴长相等 D离心率相等5已知向量，则下列向量中与成夹角的是A B C D6已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为图2近视率/ %3050O小学 初中 高中 年级图1高中生2000名小学生3500名初中生4500名A200，20 B100，20 C200，10 D100，107若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是A B C与既不垂直也不平行 D与的位置关系不确定8设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A60 B90 C120 D130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9 13题）9不等式的解集为 10曲线在点处的切线方程为 11从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 12在中，角所对应的边分别为. 已知，则 13若等比数列的各项均为正数，且，则 （二）选做题（14 15题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为 图315（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数，且 （1）求的值；（2）若，求17（本小题满分12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率30.1250.2080.32（1）确定样本频率分布表中和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间的概率图418（本小题满分14分）如图4，四边形为正方形，平面，于点，交于点（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值19（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，且（1）求的值；（2）求数列的通项公式20（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程21.（本小题满分14分）设函数，其中（1）求函数的定义域（用区间表示）；（2）讨论在区间上的单调性；（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CDBABADD二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9 13题）9. 10. 11. 12. 2 13.50（二）选做题（14 15题，考生只能从中选做一题）14. 15.9三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）16. 解：（1），解得.（2）由（1）得，所以所以，又因为，所以，所以.17.（本小题满分12分）17. 解：（1），.（2）所求的样本频率分布直方图如图所示：025 3035 40 45 50 日加工零件数 （3）设“该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间”为事件，即至少有1人的日加工零件数落在区间概率为.18（本小题满分14分）18.（1）证明：因为平面，平面，所以.因为在正方形中，又，所以平面.因为平面，所以.因为，所以平面.（2）方法一：以为坐标原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系设正方形的边长为1，则.由（1）得是平面的一个法向量.设平面的法向量为，所以.令，则，所以是平面的一个法向量.设二面角的平面角为，且所以，所以二面角的平面角的余弦值为.方法二：过点作于，过点作于，连接.因为，所以平面.因为，所以平面.因为平面，所以.因为，所以平面.根据三垂线定理，有，所以为二面角的平面角.设正方形的边长为1，在中，所以.在中，因为，所以，所以.所以，所以，所以二面角的平面角的余弦值为.19.（本小题满分14分）19. 解：（1）当时，又，所以，解得.当时，又，解得.所以.（2） 当时， 得.整理得，即.猜想，. 以下用数学归纳法证明：当时，猜想成立；假设当时，当时，猜想也成立，所以数列的通项公式为，.20.（本小题满分14分）20. 解：（1）依题意得，所以，所以椭圆的标准方程为（2）当过点的两条切线的斜率均存在时，设，则联立，得，所以，整理得，即，因为，所以，整理得；当过点的两条切线一条斜率不存在，一条斜率为0时，为或，均满足.综上所述，点的轨迹方程为.21.（本小题满分14分）21. 解：（1），由，得或，即或，所以或或，其中.所以函数的定义域.（2）令，则，令，解得，其中.因为，所以随的变化情况如下表：0极大值因为函数与在区间上的单调性相反，所以在和上是增函数， 在和上是减