2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答.pdf

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 四川延考卷 数 学 理科 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 四川延考卷 数 学 理科 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 集合 1 0 1 A A的子集中 含有元素0的子集共有 A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 解 A的子集共 3 28 个 含有元素 0 的和不含元素 0 的子集各占一半 有 4 个 选 B 2 已知复数 3 3 2 ii z i 则 z A 5 5 B 2 5 5 C 5 D 2 5 解 3 3 10 2 2 2 42 2 2 2 iii zii iii 22 422 5z 3 4 1 1 1 x x 的展开式中含 2 x的项的系数为 A 4 B 6 C 10 D 12 解 412233 444 11 1 1 1 1 xC xC xC x xx 展开式中含 2 x项的系数为 23 44 10CC 4 已知 nN 则不等式 2 20 01 1 n n 的解集为 A n n 199 nN B n n 200 nN C n n 201 nN D n n 202 nN 解 222 20 01 11200 n nn 200 nnN 5 已知 1 tan 2 则 2 sincos cos2 A 2 B 2 C 3 D 3 解 2 1 1 sincos sincos1tan 2 3 1 cos2cossin1tan 1 2 选 C 6 一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径 该正三棱锥的高等于这个球的直径 则 球的体积与正三棱锥体积的比值为 A 8 3 3 B 3 6 C 3 2 D 8 3 解 设球的半径为r 3 1 4 3 Vr 正三棱锥的底面面积 2 3 4 Sr 2hr 23 2 133 2 346 Vrrr 所以 1 2 8 3 3 V V 选 A 7 若点 2 0 P到双曲线 22 22 1 xy ab 的一条淅近线的距离为2 则双 曲线的离心率为 A 2 B 3 C 2 2 D 2 3 解 设过一象限的渐近线倾斜角为 2 sin451 2 k 所以 b yxx a ab 因此2 2 c ca e a 选 A 8 在一次读书活动中 一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本 则 所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为 A 1 5 B 1 2 C 2 3 D 4 5 解 因文艺书只有 2 本 所以选 3 本必有科技书 问题等价于选 3 本书有文艺书的概率 3 4 3 6 44 1 11 205 C P AP A C 9 过点 1 1 的直线与圆 22 2 3 9xy 相交于 A B两点 则 AB的最小值为 A 2 3 B 4 C 2 5 D 5 解 弦心距最大为 22 2 1 3 1 5 AB的最小值为2 954 10 已知两个单位向量a 与b 的夹角为135 则 1ab 的充要条件是 A 0 2 B 2 0 C 0 2 D 2 2 解 22 222 12121 1 cos135211abaa bb 2 2002 或 选 C 11 设函数 yf x xR 的图象关于直线0 x 及直线1x 对称 且 0 1 x 时 2 f xx 则 3 2 f A 1 2 B 1 4 C 3 4 D 9 4 解 2 3311111 1 1 2222224 fffff 12 一个正方体的展开图如图所示 B C D为原正方体的顶点 A为原正方体一条棱的中点 在原来的正方体中 CD与AB所成 角的余弦值为 A 5 10 B 10 5 C 5 5 D 10 10 解 还原正方体如右图所示设1AD 则5AB 1 AF 2 2BEEF 3AE CD与AB所成角等于BE与AB所成角 所以余弦值为 58910 cos 10252 2 ABE 选 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中模式横线上 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中模式横线上 13 函数 1 1 x ye xR 的反函数为 解 11 111ln 1 xx yeeyxy 所以反函数 ln 1 1 1 yxx 14 设等差数列 n a的前n项和为 n S 且 55 Sa 若 4 0a 则 7 4 a a 解 5512341423 00Saaaaaaaaa 取特殊值 令 23 1 1 aa 4 3a 741 29aaa 所以 7 4 3 a a 15 已知函数 sin 6 f xx 0 在 4 0 3 单调增加 在 4 2 3 单调减少 则 解 由题意 44 sin 1 336 f 431 2 36222 kkkZ 又0 令0k 得 1 2 如0k 则2 T 与已知矛盾 16 已知90AOB C为空间中一点 且60AOCBOC 则直线OC与平 面AOB 所成角的正弦值为 解 由对称性点C在平面AOB内的射影D必在AOB 的平分线上作 DEOA 于E 连结CE则由三垂线定理CEOE 设1DE 1 2OEOD 又60 2COECEOEOE 所以 22 2CDOCOD 因此直线OC与平面AOB所成角的正弦 值 2 sin 2 COD 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在 ABC中 内角 A B C对边的边长分别是 a b c 已知 222 2acb 若 4 B 且A为钝角 求内角A与C的大小 若2b 求 ABC面积的最大值 解 由题设及正弦定理 有 222 sinsinsin1ACB 故 22 sincosCA 因A为钝角 所以sincosCA 由coscos 4 AC 可得sinsin 4 CC 得 8 C 5 8 A 由余弦定理及条件 222 1 2 bac 有 22 cos 4 ac B ac 故cosB 1 2 由于 ABC面积 1 sin 2 acB 又ac 22 1 4 2 ac sin B 3 2 当ac 时 两个不等式中等号同时成立 所以 ABC面积的最大值为 13 43 22 18 本小题满分 12 分 一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类 A类 B类 C 类 检验员定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检 若发现其中含有C类产品或 2 件都是B类产品 就需要调整设备 否则不需要调整 已知该生产线上生产的每件产品为A 类品 B类品和C类品的概率分别为0 9 0 05和0 05 且各件产品的质量情况互不影响 求在一次抽检后 设备不需要调整的概率 若检验员一天抽检 3 次 以 表示一天中需要调整设备的次数 求 的分布列和 数学期望 解 设 i A表示事件 在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品 1 2 i i B表示事件 在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品 1 2 i C表示事件 一次抽检后 设备不需要调整 则 121212 CA AA BBA 由已知 0 9 i P A 0 05 i P B 1 2 i 所以 所求的概率为 121212 P CP A AP A BP BA 2 0 92 0 9 0 050 9 由 知一次抽检后 设备需要调整的概率为 1 0 90 1pP C 依题意知 3 0 1 B 的分布列为 0 1 2 3 p 0 729 0 243 0 027 0 001 3 0 10 3Enp 19 本小题满分 12 分 如图 一张平行四边形的硬纸片 0 ABC D中 1ADBD 2AB 沿它的对角线BD 把 0 BDC折起 使点 0 C到达平面 0 ABC D外点C的位置 证明 平面 0 ABC D 平面 0 CBC 如果 ABC为等腰三角形 求二面角ABDC 的大小 解 证明 因为 0 1ADBCBD 0 2ABC D 所以 0 90DBC 90ADB 因为折叠过程中 0 90DBCDBC 所以DBBC 又 0 DBBC 故DB 平面 0 CBC 又DB 平面 0 ABC D 所以平面 0 ABC D 平面 0 CBC 解法一 如图 延长 0 C B到E 使 0 BEC B 连结AE CE 因为ADBE 1BE 1DB 90DBE 所以AEBD为正方形 1AE 由于AE DB都与平面 0 CBC垂直 所以AECE 可知1AC 因此只有2ACAB 时 ABC为等腰三角形 在Rt AEC中 22 1CEACAE 又1BC 所以 CEB为等边三角形 60CBE 由 可知 所以CBE 为二面角ABDC 的平面角 即二面角ABDC 的大小 为60 解法二 以D为坐标原点 射线DA DB分别为x轴正半轴和y轴正半轴 建立如图的空 间直角坐标系Dxyz 则 1 0 0 A 0 1 0 B 0 0 0 D 由 可设点C的坐标为 1 xz 其中0z 则有 22 1xz 因为 ABC为等腰三角形 所以1AC 或2AC 若1AC 则有 22 1 11xz 则此得1x 0z 不合题意 若2AC 则有 22 1 12xz 联立 和 得 1 2 x 3 2 z 故点C的坐标为 13 1 22 由于DABD BCBD 所以DA 与BC 夹角的大小等于二面角ABDC 的大小 又 1 0 0 DA 13 0 22 BC 1 cos 2 DA BC DA BC DA BC 所以 60DA BC 即二面角ABDC 的大小为60 20 本小题满分 12 分 在数列 n a中 1 1a 2 1 1 2 1 nn aa n 求 n a的通项公式 令 1 1 2 nnn baa 求数列 n b的前n项和 n S 求数列 n a的前n项和 n T 解 由条件得 1 22 1 1 2 nn aa nn 又1n 时 2 1 n a n 故数列 2 n a n 构成首项为 1 公式为 1 2 的等比数列 从而 21 1 2 n n a n 即 2 1 2 n n n a 由 22 1 21 222 n nnn nnn b 得 2 3521 222 n n n S 231 1352121 22222 n nn nn S 两式相减得 231 1311121 2 222222 n nn n S 所以 25 5 2 n n n S 由 23112 1 2 nnn Saaaaaa 得 11 1 2 nnnn TaaTS 所以 11 222 nnn TSaa 2 1 46 12 2n nn 21 本小题满分 12 分 已知椭圆 1 C的中心和抛物线 2 C的顶点都在坐标原点O 1 C和 2 C有公共焦点F 点F在x 轴正半轴上 且 1 C的长轴长 短轴长及点F到 1 C右准线的距离成等比数列 当 2 C的准线与 1 C右准线间的距离为15时 求 1 C及 2 C的方程 设过点F且斜率为1的直线l交 1 C于P Q两点 交 2 C于M N两点 当 36 7 PQ 时 求 MN的值 解 设 1 C 22 22 1 xy ab 0 ab 其半焦距为c 0 c 则 2 C 2 4ycx 由条件知 2 2 2 2 a bac c 得2ac 1 C的右准线方程为 2 a x c 即4xc 2 C的准线方程为xc 由条件知515c 所以3c 故6a 3 3b 从而 1 C 22 1 3627 xy 2 C 2 12yx 由题设知l yxc 设 11 M x y 22 N xy 33 P xy 44 Q xy 由 知 22 1 22 1 43 xy C cc 即 222 3412xyc 由 222 3412xyc yxc 知 34 x x满足 22 7880 xcxc 从而 22 343434 24 2 7 PQxxyyxxc 由条件 36 7 PQ 得 3 2 c 故 2 C 2 6yx 由 2 6 3 2 yx yx 得 2 9 90 4 xx 所以 12 9xx 于是 12 212MNMFFNxxc 22 本小题满分 14 分 设函数 2 21 2 x f x x 求 f x的单调区间和极值 若对一切xR 3 3af xb 求ab 的最大值 解 222 212 2 1 2 2 xx