点线面的位置关系高考试题及答案.doc

点直线平面之间的位置关系二、填空题（2012年高考（四川文）如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成的角的大小是_.（2012年高考（大纲文）已知正方形中,分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为_.三、解答题（2012年高考（重庆文）已知直三棱柱中,为的中点.()求异面直线和的距离;()若,求二面角的平面角的余弦值.（2012年高考（浙江文）如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB=.AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:(i)EFA1D1;(ii)BA1平面B1C1EF;(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.（2012年高考（天津文）如图,在四棱锥中,底面是矩形,.(I)求异面直线与所成角的正切值;(II)证明平面平面;(III)求直线与平面所成角的正弦值.（2012年高考（四川文）如图,在三棱锥中,点在平面内的射影在上.()求直线与平面所成的角的大小;()求二面角的大小.（2012年高考（上海文）如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,D是PABCDPC的中点.已知BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:(1)三棱锥P-ABC的体积;(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示).（2012年高考（陕西文）直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=A A1 ,=()证明;()已知AB=2,BC=,求三棱锥的体积.（2012年高考（山东文）如图,几何体是四棱锥,为正三角形,.()求证:;()若,M为线段AE的中点,求证:平面.（2012年高考（辽宁文）如图,直三棱柱,AA=1,点M,N分别为和的中点.()证明:平面;()求三棱锥的体积.(椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积,h为高)（2012年高考（课标文）如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,ACB=90,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.(I) 证明:平面平面()平面分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.（2012年高考（湖南文）如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ADBC,ACBD.()证明:BDPC;()若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30,求四棱锥P-ABCD的体积.（2012年高考（广东文）(立体几何)如图5所示,在四棱锥中,平面,是的中点,是上的点且,为中边上的高.()证明:平面;()若,求三棱锥的体积;()证明:平面.（2012年高考（福建文）如图,在长方体中,为棱上的一点.(1)求三棱锥的体积;(2)当取得最小值时,求证:平面.（2012年高考（大纲文）如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,是上的一点,.()证明:平面;DABPCE()设二面角为90,求与平面所成角的大小.（2012年高考（江苏）如图,在直三棱柱中,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点.求证:(1)平面平面;(2)直线平面.参考答案一、选择题 【答案】B 【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识,具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质. 【解析】利用排除法可得选项B是正确的,a,则a.如选项A:a,时, a或a;选项C:若a,a,或;选项D:若若a, a,或. 答案C 解析若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确. 点评本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式. D 二、填空题 答案90 解析方法一:连接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以,DN平面A1MD1, 又A1M平面A1MD1,所以,DNA1D1,故夹角为90 方法二:以D为原点,分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴,建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, 所以,cos = 0,故DND1M,所以夹角为90 点评异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决. 【解析】正确的是 四面体每个面是全等三角形,面积相等 从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 连接四面体每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分 从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 三、解答题 【答案】:()() 【解析】:()如答(20)图1,因AC=BC, D为AB的中点,故CD AB.又直三棱柱中, 面 ,故 ,所以异面直线 和AB的距离为 ():由故 面 ,从而 ,故 为所求的二面角的平面角. 因是在面上的射影,又已知 由三垂线定理的逆定理得从而,都与互余,因此,所以,因此得 从而 所以在中,由余弦定理得 【命题意图】本题主要以四棱锥为载体考查线线平行,线面垂直和线面角的计算,注重与平面几何的综合, 同时考查空间想象能力和推理论证能力. (1)(i)因为, 平面ADD1 A1,所以平面ADD1 A1. 又因为平面平面ADD1 A1=,所以.所以. (ii)因为,所以, 又因为,所以, 在矩形中,F是AA的中点,即.即 ,故. 所以平面. (2) 设与交点为H,连结. 由(1)知,所以是与平面所成的角. 在矩形中,得,在直角中,得 ,所以BC与平面所成角的正弦值是. 解:(1)如图,在四棱锥中,因为底面是矩形,所以,且,又因为,故或其补角是异面直线与所成的角. 在中,所以异面直线与所成角的正切值为2. (2)证明:由于底面是矩形,故,又由于,因此平面,而平面,所以平面平面. (3)在平面内,过点作交直线于点,连接.由于平面平面,由此得为直线与平面所成的角. 在中,可得 在中, 由平面,得平面,因此 在中,在中, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 解析(1)连接OC. 由已知,所成的角 设AB的中点为D,连接PD、CD. 因为AB=BC=CA,所以CDAB. 因为等边三角形, 不妨设PA=2,则OD=1,OP=, AB=4. 所以CD=2,OC=. 在Rttan (2)过D作DE于E,连接CE.由已知可得,CD平面PAB. 据三垂线定理可知,CEPA, 所以,. 由(1)知,DE= 在RtCDE中,tan 故 点评本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念,重点考查思维能力和空间想象能力,进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤:一找(寻找现成的二面角的平面角)、二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值). PABCDE解(1), 三棱锥P-ABC的体积为 (2)取PB的中点E,连接DE、AE,则 EDBC,所以ADE(或其补角)是异面直线 BC与AD所成的角 在三角形ADE中,DE=2,AE=,AD=2, ,所以ADE=. 因此,异面直线BC与AD所成的角的大小是 证明:(I)设中点为O,连接OC,OE,则由知, 又已知,所以平面OCE. 所以,即OE是BD的垂直平分线,所以. (II)取AB中点N,连接,M是AE的中点, 是等边三角形,.由BCD=120知,CBD=30, 所以ABC=60+30=90,即,所以NDBC, 所以平面MND平面BEC,又DM平面MND,故DM平面BEC. 另证:延长相交于点,连接EF.因为CB=CD,. 因为为正三角形,所以,则, 所以,又, 所以D是线段AF的中点,连接DM, 又由点M是线段AE的中点知, 而平面BEC, 平面BEC,故DM平面BEC. 【答案与解析】 (1)证明:取中点P,连结MP,NP,而M,N分别是A与的中点,所以, MPA,PN,所以,MP平面AC,PN平面AC,又,因此平面MPN平面AC,而MN平面MPN,所以,MN平面AC, 【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中.第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明;第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键,也可以采用割补发来球体积. 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算,考查空间想象能力、逻辑推理能力,是简单题. 【解析】()由题设知BC,BCAC,面, 又面, 由题设知,=,即, 又, 面, 面, 面面; ()设棱锥的体积为,=1,由题意得,=, 由三棱柱的体积=1, =1:1, 平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 法二:(I)证明:设,则, 因侧棱垂直底面,即,所以, 又D是棱AA1的中点,所以 在中,由勾股定理得: ; 同理,又, 所以:, 即有 因平面,所以, 又,所以 ,所以侧面,而平面, 所以:;由(1)和(2)得:平面, 又平面 ,所以平面平面 (II) 平面BDC1分此棱柱的下半部分可看作底面为直角梯形,高为的一个四棱锥,其体积为:, 该四棱柱的总体积为, 所以,平面BDC1分此棱柱的上半部的体积为 所以 ,所求两部分体积之比为 【解析】()因为 又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC, 而平面PAC,所以. ()设AC和BD相交于点O,连接PO,由()知,BD平面PAC, 所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而. 由BD平面PAC,平面PAC,知. 在中,由,得PD=2OD. 因为四边形ABCD为等腰梯形,所以均为等腰直角三角形, 从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 在等腰三角形AOD中, 所以 故四棱锥的体积为. 【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由()知,BD平面PAC,所以是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积. 解析:()因为平面,平面,所以.又因为为中边上的高,所以.,平面,平面,所以平面. (),因为是的中点,平面,所以点到平面的距离等于,即三棱锥的高,于是. ()取中点,连接、.因为是的中点,所以且.而是上的点且,所以且.所以四边形是平行四边形,所以.而,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面,即平面. 【考点定位】本题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系以及体积等基本知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想. 【解析】(1)又长方体AD平面.点A到平面的距离AD=1, =21=1 , (2)将侧面绕逆时针转动90展开,与侧面共面.当,M,C共线时, +MC取得最小值AD=CD=1 ,=2得M为的中点连接M在中,=MC=,=2, =+ , =90,CM, 平面,CM AMMC=C CM平面,同理可证AM 平面MAC 【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用.从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度,并加以证明和求解. 解:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设. ()证明:由得, 所以,所以, .所以,所以平面; () 设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角为,所以,解得. 所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角为. 【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题和相似,底面也是特殊的菱形,一个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点,这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好. 故线段A1B上存在点Q,使得A1C平面DEQ. 【解析】(I)连接,共面 长方体中,底面是正方形 面 ()在矩形中, 得: 【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 方法一:（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系则（2）