-以“变化与关系”这一内容的试题为例.pdf

1 5 徐庆惠 2012PISA 数学测试与上海初中数学学业水平考试的比较研究 一 问题的提出 2012 年 PISA 测试的主项是数学 其目标是 评估数学素养 本次测试为数学内容知识建立 了一个组织结构 分为以下四大内容类别 变化 和关系 空间和图形 数量 不确定性和数据 这 四个内容类别在测试中的分值均占约 25 在这 四个内容上 上海学生表现均列第一 得分依次 为 624 分 649 分 591 分 592 分 在这一成绩 的背后给我们上海的数学教育与评价究竟带来 了哪些可以思考的问题 本文结合 2012PISA 测 试和上海市初中学业水平考试在 变化与关系 这一内容主题方面的试题情况进行分析 比较与 思考 基于上海市中小学数学课程标准中对方程与 代数 函数与分析的要求和课时安排 可以知道方 程与函数知识是初中数和代数课程领域学习的主 线 尤其是函数知识贯穿于初中数学始终 在初 中阶段学生对函数的学习是经历从感受阶段 到 学习阶段 再到应用阶段 在感受阶段是了解数 的概念的发展 学习阶段是形成函数的一般概念 理解函数关系 掌握绘制简单的函数图像 会用函 数的性质解决一些比较简单的实际问题 应用阶 段是了解函数的变化趋势 通过函数的性质再做 进一步探究 经历这些阶段后为高中阶段学习函 数知识打好了基础 二 2 0 1 2年 P I S A测试中的 变化与关系 1 PISA2012 数学测试框架 2012PISA 测试的目的是考查义务教育末期 学生是否掌握参与今后社会生活所需要的问题解 决能力和终身学习能力 PISA2012 将数学素养界定为 数学素养是 个体在各种背景下进行数学表述 数学运用和数 学阐释的能力 它包括数学式的推理 以及使用 数学概念 步骤 事实和工具来描述 解释和预测 现象 它帮助个体认识数学在现实世界中所起的 作用 做出有根据的判断和决策 以成为具有建设 性 参不意识和反思能力的公民 在 2012PISA 测试中 经合组织 OECD 构建 了一个数学素养的模型 图 1 2 0 1 2 P I S A数学测试与上海初中数学 学业水平考试的比较研究 以 变化与关系 这一内容的试题为例 徐庆惠 摘要 2 0 1 2 年 P I S A测试的主项是数学 其目标是评估数学素养 并对数学素养作了界 定 同样在上海的中小学课程标准中对数学素养也作了界定 本文结合 2 0 1 2 P I S A测试和 近几年上海市初中学业水平考试在 变化与关系 这一内容主题方面的试题情况进行分析 比较与思考 关键词 P I S A测试 变化与关系 数学素养 作者简介 徐庆惠 上海市黄浦区教育学院教研员 上海 2 0 0 0 2 3 本文是 2013 年上海市教育科学研究项目 基于数据的上海中考和 PISA 测试数学成绩影响因素比较研究 项目批准号 为 B13055 的研究成果之一 1 6 外国中小学教育 2014 年第 4 期 数学思想和方法 数学概念 知识和技能 基本的数学能力 沟通 陈述 为解决问题设计策 略 数学化 推理和论证 使用符号化的 正式的 技术性的语言并运算 使用数学工具 问题解决的数学过程 表述 运用 阐释 评价 真实世界问题情境的挑战 数学内容类别 数量 不确定性和数据 变化和关系 空间 和形状 问题情境类别 个人性的 社会性的 职业性的 科学性的 数学问题情境问题表述 数学结果情境结果阐释 运用评价 图 1 1 数学素养定义中的 表述 一词指的是 学生 能够识别使用数学的机会 然后将数学结构运用 于某种情境化形式呈现的问题之中 运用 一词 指的是 学生能够运用数学概念 事实 步骤和推 理来解决数学表述的问题 得出数学结论 阐释 一词关注的焦点是学生反思数学方案 结果或结 论 以及在现实问题情境中解释结果的能力 其 涉及转化数学方案 或往回推理到问题情境 判断 结果是否合理 在问题情境中是否说得通 2 这 一数学过程范畴包括了数学素养模型中的 阐释 和 评估 两个方面 学生需要在问题情境下 架 构 沟通解释和论证 本次测试框架使用的 7 项数学能力为 沟通 数学化 表述 推理和论证 为解决问题设计策略 使用符号化的 正式的 技术性语言和运算 使用 数学工具 2 2012PISA 测试中 变化与关系 的试题分析 基于上述测试框架 PISA 测试的题目呈现的 形式都是以生活中的一些情境为背景 要求学生 从中获取有用的信息 运用相关的数学知识解决 并解释实际问题 也可以说是一种建模的过程 试 题对知识内容的要求并不太高 变化与关系 体现在自然和社会生活的方方 面面 如有机体的生长 四季的更替 音乐的节奏 变化 天气的状况 就业率水平 经济形势 等等 要想获得对变化与关系更深刻的洞察 必须了解 变化的类型 以及变化发生的时间 以便于运用合 适的数学模型来描述和预测变化 在描述和阐释 变化现象 为这些现象建模时 传统数学内容中的 函数与代数 包括等式 不等式 图表 代数表达 式 都起到重要的作用 3 本文选择了上海学生在正式测试中的 变化 与关系 的试题进行分析 筝帆船和输液速率 主题 1 筝帆船 百分之九十五的全球贸易是通过大约 50000 艘油轮 散货船和集装箱船 经由海路运输进行 的 绝大多数轮船使用柴油燃料 工程师们正打 算研发供这些轮船使用的风力能源 他们提议在 船上装上风筝帆 借助风能来降低柴油消耗和燃 料对环境的影响 问题 1 使用风筝帆航行的一个好处是 它的 飞行高度是 150m 此时 风速比在船甲板上大约 高 25 当在船的甲板上测得风速是 24km h 时 吹向 风筝帆的风速大约是多少 A 6km h B 8km h C 25km h D 30km h E 49km h 问题 2 如下图所示 要使拉住风筝帆的绳子 与船体成 45 角 并且它的垂直高度为 150 m 大约需要用多长的绳子 A 173m B 212m C 285m D 300m 问题 3 由于柴油的价格高达每升 0 42 西元 纽威号船主正在考虑给自己的船安装一个风筝 帆 据估计 安装一个风筝帆大体上可以减少约 20 的柴油消耗 1 7 名称 纽威号 类型 货轮 长度 117 米 宽度 18 米 载重 12 000 吨 最大航速 19 节 无风筝帆时柴油的年消耗量 约 3 500 000 升 纽威号安装风筝帆的成本是 2500000 西元 大约需要多少年 节省的柴油费用就可以抵消安装 风筝帆的成本 写出计算过程来支持你的答案 主题 2 输液速率 点滴输液 或静脉输液 是用来给病人注射 液体和药品的 护士需要计算输液的速率 D 即每分钟输入 多少滴液体 他们使用的公式是 D 其中 d 是点滴系数 即每毫升 ml 液体的滴数 v 是点滴注射液的容积 以毫升为单位 n 是输完液体所需要的时间 以小时为单位 问题 1 护士想把点滴注射的时间延长到原 来的两倍 准确描述在 n 变成原来的两倍 d 和 v 保持 不变的条件下 D 将会发生怎样的变化 问题 2 护士还需要根据输液速率 D 来计算 点滴注射液的容积 v 给病人注射一瓶输液速率 为每分钟 50 滴的点滴注射需要 3 小时 这瓶点滴 注射液的点滴系数是每毫升 25 滴 请问 点滴 注射液的容积是多少毫升 ml 这两题的数学知识内容所对应的上海数学教 学的年级 上海学生的平均水平 OECD 的平均水 dv 60n 平等列表如下 以上试题考查的知识点包括整式方程 反比 例函数等 根据本次测试框架使用的 7 项基础数 学能力可以得到 主题 1 中第 3 问是在科学性的情境中考查数 学表述 要求根据所提供的信息进行分析 从所 提供的大量数据中寻找需要的数据 在测试框架 中对应 数学化 中的 阐释 即理解因为运用数 学模型导致的数学方案的有效范围和局限性 由 于此问题提供的数据较多 学生以往所接触的试 题都是条件恰好都用到的 因此在先筛选数据 再 求解问题上学生可能出现无从入手或数据选错的 情况 致使该问题的得分率不高 主题 2 的两个问题是在职业性的情境中考 查数学运用 题中所给的公式含有四个字母 并 一一给出其对应的实际意义 第 1 问在测试框架 中对应 推理与论证 中的 表述 即解释为一个 现实世界情境设计的陈述 并提供理由 解决这 一问题需要学生将其中字母与意义对应后 确定 两个变量之间属于哪一类函数的关系 以及利用 该函数的性质来解释此问题 第 2 问在测试框架 中对应 数学化 中的 运用 即利用对情境的理 解来引领或加快数学化地解决问题的过程 学生 要根据所提供的条件 代入公式中相应的字母 将 问题转化为方程求解 本题对自然语言转化为符 号语言有一定的要求 三 上海市初中学业水平考试中的 变化与 关系 PISA 测试中 变化和关系 这一块内容 对应 着上海初中阶段课程标准中的 方程与代数 函 数与分析 两大块 题目名称内容知识点 对应模块 年级 上海学生 平均水平 O E C D各 国平均水 平 箏帆船 1数量数与运算 六年级 7460 箏帆船 2空间和 图形 图形与几何 八 九年级 8250 箏帆船 3变化和 关系 方程与代数 六年级 4715 输液速率 1 变化和 关系 函数与分析 八年级 7122 输液速率 2 变化和 关系 函数与分析 八年级 7126 徐庆惠 2012PISA 数学测试与上海初中数学学业水平考试的比较研究 1 8 外国中小学教育 2014 年第 4 期 1 上海市中小学数学课程标准对 数学素养 的界定 数学素养是现代公民必备的一种基本素养 发展学生的数学素养是数学课程的目标 中小学数学课程所培育的数学核心素养是 学生通过认知活动好自身实践所获得的数学的 知识与技能 数学的思想与方法 数学的能力 数 学的意识与精神等的有机组合 数学核心素养图 示如下 数学的能力是发展数学素养的关键 也是个 人能顺利完成数学活动所必须具备的 而且直接 影响其活动效率的一种个性心理品质 它反映运 用数学解决问题的水平 数学的能力是在数学活 动中逐步形成和发展的 并在数学活动中表现出 来的稳定的心理特征 通过中小学数学课程的学 习 逐步形成运算求解 空间想象 推理论证 数学 探究建模等数学核心能力 2 上海市中小学数学课程标准中对 方程与 代数 函数与分析 的要求 初中阶段方程与代数 函数与分析的知识框 架 图 2 图 2 初中阶段关于 方程与代数 函数与分析 知识与技能的要求 懂得解代数方程的基本原理 会解简单的代 数方程 掌握简单的整式 分式和二次根式的基 本运算和变形 理解函数的意义 理解正比例函数 反比例 函数 一次函数和二次函数的概念 会画他们的图 像并掌握从图像中得到的一些基本性质 4 初中阶段关于 方程与代数 函数与分析 过程能力与方法的要求 经历从具体情境中抽象出数学符号的过程 从整数到有理数 实数的扩展过程 用字母表示数 和建立代数式的抽象过程 体验 探索具体问题 中的数量关系和变化规律 能用代数式 方程 不 等式 函数等进行描述 经历采用观察 画图或计 算器等手段估计方程解以及利用等式性质和运算 律探求方程解的过程 经历利用方程解决实际问 题的过程 体会方程是刻画现实世界中一类数量 关系和探求未知量的有效的数学模型 经历建立 函数关系的过程 体会函数是反映两个变量相互 依赖关系的数学模型 是揭示两个变量变化规律 的有效工具 方程与代数 函数与分析 在上海的初中 阶段的课时数 比例和在上海的初中学业水平考 试中试题分值 比例如下表 从上表中可以看出 方程与代数 函数与 分析 在初中学业水平考试中试题的分值占总分 的比例高于该内容课时占总课时的比例 3 上海市初中学业水平考试目的与试题呈现 的形式 上海市初中学业水平考试命题的指导思想是 有利于切实减轻中学生过重的学业负担 促进学 生健康成长和全面和谐 富有个性的发展 有利于 方程与代数函数与分析 6 7 年级79 课时 8 9 年级45 课时34 课时 合计 课时 124 课时34 课时 占总课时 442 比例28 1 7 7 合计 比例 35 8 中考试题中分值 所占比例 约 45 分 约 30 约 25 分 约 17 合计 比例 约 47 1 9 推进中小学实施素质教育 有利于培养学生的创 新精神和实践能力等 5 其试题呈现的形式是 以形式化为主 当然近几年来也关注了对于简单 情境下的问题考查 在考试手册中对于解决简单 问题的能力提出的要求为 知道一些基本的数学 模型 并通过运用 解决一些简单的实际问题 初 步掌握观察 操作 比较 类比 归纳的方法 懂得 从特殊到一般 从一般到特殊 及 转化 等思 维策略 初步会对问题进行多方面的分析 对问 题解决的结果进行合理解释 会用已有的知识经 验 解决新情境中的数学问题 纵观近几年上海的初中数学学业水平考试 根据学科特点 在特别关注考查数学的基本知识 和基本技能 初步的逻辑推理和运算能力 形成基 本的空间概念之外 还注重对解决问题能力的考 查 要求运用数学知识解决一些简单问题 2 0 1 0 年到 2 0 1 3 年上海市中考 方程与代数 函数与分析 试题分析 2 0 1 3年2 0 1 2年2 0 1 1年2 0 1 0年 试题数分数分数 百分比 试题数分数分数 百分比 试题数分数分数 百分比 试题数分数分数 百分比 方程与代数73624 104832 84429 3 94630 7 函数与分析73020 62315 3 72718 72416 合计146644 167147 3 157147 3 167046 7 方程与 代数 无背景73624 104832 74026 7 94630 7 有背景000 000 142 7 000 函数与 分析 无背景62617 3 4138 6 72718 62013 3 有背景142 7 2106 7 000 142 7 4 上海市初中学业考试数学试题分析 目前中国各地的初中学业考试的试题呈现 的方式多为形式化的试题 其中也会有一部分应 用题 本文选择了近几年上海中考中以考查 方 程与代数 和 函数与分析 为主的有关应用题 如下表 年份试题 分值 难度 知识内容考查能力 2013 16 李老师开车从甲地到相距 240 千米 的乙地 如果邮箱剩余油量 y 升 与行 驶里程 x 千米 之间是一次函数关系 其图像如图所示 那么到达乙地时邮箱 剩余油量是 升 4 分 0 80 函数与分析 一次函 数图像及其应用 用 待定系数法求一次函 数解析式 考查解决简单问题的 能力 知道一些基本 的数学模型 并通过 运用 解决一些简单 的实际问题 2012 22 某工厂生产一种产品 当生产数量至 少为 10 吨 但不超过 50 吨时 每吨的成 本 y 万元 吨 与生产数量 x 吨 的 函数关系如图所示 1 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出它 的定义域 2 当生产这种产品的总成本为 280 万 元时 求该产品的生产数量 注 总成本 每吨的成本 生产数量 1 5 分 难度 0 85 2 5 分 难度 0 81 函数与分析 一次函 数 1 用待定系数 法求一次函数解析式 2 一次函数的应用 考查解决简单问题的 能力 知道一些基本 的数学模型 并通过 运用 解决一些简单 的实际问题 2011 14 某小区 2010 年屋顶绿化面积为 2000 平方米 计划 2012 年屋 顶绿化面积要达到 2880 平方米 如果每年屋顶绿化面积的增长 率相同 那么这个增长率是 4 分 难度 0 81 方程与代数 简单的 代数方程 列一元二 次方程解应用题 考查解决简单问题的 能力 掌握 方程与代 数 的相关知识 2010 17 一辆汽车在行驶过程中 路程y 千米 与时间 x 小时 之间的函数关系如图 所示 当 0 x 1 时 y 关于 x 的函数 解析式为 y 60 x 那么当 1 x 2 时 y 关于 x 的函数解析式为 4 分 难度 0 94 函数与分析 一次函 数 一次函数的应用 考查解决简单问题的 能力 知道一些基本 的数学模型 并通过 运用 解决一些简单 的实际问题 徐庆惠 2012PISA 数学测试与上海初中数学学业水平考试的比较研究 2 0 外国中小学教育 2014 年第 4 期 从表中可以看出近几年上海的初中学业水平 考试中在方程与代数 函数与分析这两部分所命 制的应用题大多以一次函数为主 各题的得分率 普遍较高 原因是这些问题与教材中的一些例题 练习有较大的相似度 而且这些问题的背景与提 问方式也是学生所熟悉的 从 PISA 测试题的得分率和上海市初中学业 水平考试试题的得分率来看 显然前者低于后者 其原因在于上海学生对于形式化问题的解决已达 到熟能生巧的程度 在上表中所列举的这些试题 学生的错误原因主要有以下几点 不善于把文字语言转化为符号语言 不能正确理解图像所表达的意义 把数学运算结果回归到实际问题中去 利用实际意义的条件进行检验取舍 找出正确 结果 6 有干扰数字出现时影响解题的正确性 上述几点正是学生在 2012PISA 该测试中所 表现的相对薄弱的方面 其中关于 能对语言文 字 图形语言 符号语言进行相互转译 这一要求 在 2013 年和 2014 年的考试手册中已被了列入双 基考查的目标 笔者进一步对这些试题在解决问题的能力方 面考查情况作了统计 如下表 从表中可以看出 近几年的上海初中学业水 平考试在 解决问题的能力 方面考查的试题数 略有下降 2012 年是近几年中最少的 其分值所 占的百分比也是最少的 四 思考与启示 在 以学生为本 的教学理念下 上海初中阶 段数学的教学与评价既有传承也有发展 在经过 与 2012PISA 比较之后 得出以下启示 1 数学教学要更多体现数学的本质和内涵 现今上海初中的数学教学较多是为了让学生 解决问题的能力方面考 查情况 方程与代数 函数与分 析有关知识在解决问题 的能力方面考查情况 试题数 分值占总分 1 5 0分 的百分比 试题数 分值占总分 1 5 0分 的百分比 2013 年41812 142 7 2012 年3149 3 2106 7 2011 年61510 142 7 2010 年83523 3 142 7 在义务阶段的终结性考试中取得好成绩 进入高 中进行后续学习 而忽略了在教学中设计能够体 现数学本质和内涵的学习环节 教师应该更多的 关注学生体验过程 了解知识发生和发展的过程 在体验中形成各种能力 2 对于数学教与学的评价应该是多维度的 对教师的教学行为评价可以包括 课堂教学 情境设计 教材内容深度解读 学习分化现象探 析 教学方法组合优化 诊断测验及其应用 分层 复习教学策略 现代信息技术应用等 对学生学习的评价可以包括 已有知识经验 转化 前概念 对科学现象的兴趣 思维加工的质 量 速度 准确性 学科的特质能力 元认知能力 等 PISA 测试的试题是将数学基础知识与生活 生产 技术上的问题相结合 运用数学的方法解释 解决实际问题 要取得好成绩 需要掌握基本的 数学知识 以及将数学知识应用于实际的能力 也 就是通常讲的解应用题 其中所蕴含的思想就是 建模思想 但是就上海中考试题中的一些应用题 而言 主要是考查学生解决问题的能力 总而言之 现代社会是一个信息大爆炸的社 会 身处其中的学生所获取知识和信息的途径是多 样化的 要求对知识的运用和对信息的处理成为一 种基本的能力 那么我们的教育与评价是否也应该 以多样化的形式呈现 作为义务阶段的终结性考 试 可以为学生的可持续发展和终身发展带来哪些 影响 这些都将是我们今后必须重点关注的问题 参考文献 2 3 OECD PISA2012 Assessment and Analytical Framework Mathematics Reading Science Problem Solving and Financial literacy OECD Publishing 2013 26 26 33 34 上海市教委 上海市中小学数学课程标准 试行稿 M 上海 上海教育出版社 2004 34 上海市教育考试院 2014 年上海市初中毕业统一学 业考试考试手册 M 上海 上海教育出版社 2013 36 上海市教育考试院 2012 上海市初中毕业统一学业 考试试题分析与评价 M 上海 上海教育出版社 2012 69 1 4 5 6 下转第 42 页 4 2 外国中小学教育 2014 年第 4 期 究 2003 7 101 10 王昕雄 从西方儿童观的演变看当代教育问 题 J 外国中小学教育 2008 4 6 杨超 2010 全国儿童歌曲大奖赛创新谈 J 电视 研究 2011 6 69 周荫昌 朴素而天下莫能与之争美 中华校园歌 曲电视大赛评说 J 人民音乐 1997 6 17 卢梭著 李平沤译 爱弥儿 M 北京 商务印书 馆 1987 91 单中惠 西方现代儿童观发展初探 J 清华大学 教育研究 2003 4 18 邹静芬 刘沛 从美国音乐教师最新标准看国际音乐 教师教育发展思潮 J 中国音乐 2005 4 130 9 11 12 13 14 15 Interpretation of Children s Music Education View of Italian Zecchino d Oro HAN Tiantian Abstract Italian Zecchino d Oro is an influential international children s songwriting competition This paper analyzes its philosophical approach education idea education content and presentation way and explores its children s music education view It provides reference for the development and reform of children s music education in China Keywords Italian Zecchino d Oro children s music education children s song 参考文献 李坦娜 修海林 尹爱青 奥尔夫音乐教育思想 与实践 M 上海 上海教育出版社 2002 40 崔学荣 兼容的音乐教育哲学观 基础音乐教育 实践的行动指南 J 中国音乐 2008 2 140 6 詹燕君 Praxis 音乐教育哲学的另一种阐 述方式 J 人民音乐 2007 4 72 73 5 黄琼瑶 鲍曼及其音乐教育哲学思想 J 中 国音乐 2007 3 94