微积分课件与习题 函数.ppt

例子1 一尺之棰日取其半 万世不竭 每天得到的剩余量按次序排列起来是一列有序的数 第一节数列的极限 无论天数n多么大 只要n取定了 棒总有剩余量 但是 日取其半 无限地进行下去 n无限增大 这就是说 例子2 求半径为R的圆周长l 易见 多边形的周长Pn随着边数n不断增加而逐渐接近圆周长l 但是 无论边数再多 内接正多边形的周长也不等于圆周长 边数n无限增大时 Pn无限接近l 我们称l为Pn的极限 一 数列的概念 定义 按某规则 依n 1 2 3 的次序编了号的一串数 x1 x2 xn 称为数列 记为 xn 第n项xn称为数列的一般项或通项 在几何上 数列 xn 可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点x1 x2 xn 数列实际上是以正整数n为自变量的函数xn f n 称为整标函数 例1 详细地写出下面的数列 并在数轴上表示出来 1 2 3 n3 1 8 27 n3 4 1 n 1 1 1 1 1 n 定义设数列 xn 当n无限增大时 若xn无限接近于某个确定的常数A 则称A为数列 xn 的极限 或称数列 xn 收敛于A 记作 或xn A 当n 二 数列的极限 易见 xn与A接近程度用 xn A 的大小来度量 例如 从下表观察 只要n足够大 就能使 xn 1 小于预先给定的无论多么小的正数 定义 设数列 xn 常数A 0 若 N 自然数 使当n N时 恒有 xn A 成立 则称A是数列 xn 的极限 记为 的几何解释 对于任给的正数 总存在一个自然数N 使得从N 1项起的所有项所对应的点xn都落在区间 A A 内 即在区间 A A 外的只是x1 x2 xn所对应的有限个点 其余的点则全部在 A A 之内 如图 x1 x2 xN xN 1 A xN 2 x3 A A 简言之 数列 xn 收敛于A 就是对于任意给定的正数 总存在N 使从xN 1开始 后面所有的点都落在A的 邻域内 例1 证 因为 只要 例2 证 因为 例3 证 因为 只要 例4 证 0 取N 1 当n N时 恒有 xn C C C 0 1 唯一性 设数列 xn 2 有界性 如果数列收敛 那么这个数列一定有界 三 收敛数列的性质 证 设数列 xn 据极限定义 对于 1 N 使对于n N的一切xn 恒有 xn A 1成立 于是 当n N时 xn xn A A xn A A 1 A 取M x1 x2 xN 1 A 则对于所有项xn 必有 xn M 故数列 xn 有界 证明1 练习 第二节函数的极限 整标函数xn f n 一般函数y f x 记号 x 读作 x趋于正无穷大 x 读作 x趋于负无穷大 x 读作 x趋于无穷大 例如 即 x 无限增大时 f x 无限接近于0 一 x 时函数f x 的极限 定义1设f x 在 a 内有定义 A为常数 若x 0且无限增大时 f x 的值无限接近A 则称A为函数f x 当x 时的极限 记为 或f x A 当x 时 定义1 设f x 在 a 内有定义 A为常数 0 若 X 0 当x X时 恒有 f x A 则称A为f x 在x 时的极限 记为 或f x A 当x 时 只要在上述 的定义中 将x X 分别换成xX 即可得到 的定义 定义2设f x 在 b 内有定义 A为常数 若x 0且无限减小时 f x 的值无限接近A 则称A为f x 在x 时的极限 记为 定义2 设f x 在 b 内有定义 A为常数 当x X时 恒有 f x A 则称A为f x 在x 时的极限 0 若 X 0 定义3设f x 在 b a 内有定义 A为常数 若 x 无限增大时 f x 的值无限接近A 则称A为f x 在x 时的极限 记作 或f x A x 定义3 0 若 X 0 当 x X时 恒有 f x A 则称A为f x 在x 时的极限 记为 或f x A x 显然 例如 例如y ex 又如y arctanx 例5 定义3 如图 作直线y A 和y A 则总有正数X存在 使得当xX时 函数f x 的图形位于这两直线之间 换言之 无论