一道联考试题的探究.pdf

2 0 1 4 年第3 期中学数学研究 3 9 一道联考试题的探究 湖南省浏阳市教育科学研究所 4 1 0 3 0 0 朱保仓 湖南省长沙市长郡芙蓉中学 4 1 0 3 0 0 周华丽 一 问题的提出 2 0 1 2 年长沙地区高三联 考中的一道试题 如图1 设A 是O D 戈2 广 1 6 上的一点 定点P 2 0 点B 是直线A P 与圆0 的另一 交点 分别过点A B 作圆0 的 切线Z 和乞 设Z 与Z 的交点 为Q 孟 2 Q 彳 弋拱 J 图1 1 若点A 的坐标为 警 一半 求证 点Q 在 直线石 8 上 2 试探究 当点A 在Q O 上运动时 除去圆与 茹轴的交点 点Q 是否一定在直线菇 8 上 若是 请证明 若不是 请说明理由 题目特点 题目是以圆的标准方程给出 定 点 的出现与 点Q 是否在直线石 8 上 的出现 给 题目增加了亮点 第二问又以存在性问题的形式展 开 进一步增强了题日的可读性与探究的魅力 步步 为营 层层诱导解题者坚定的信心 促使持之以恒地 进行探究 是一道考查直线与圆的位置关系的好题 二 问题的探究 1 解法赏析 1 因为A 的坐标为 警 一等 P 2 o 所以 直战P A 的方程为Y 一2 x 4 由 芗1 0 0 j 薯竺 即 所以 切线1 2 的方程为Y 4 因为z 与圆O 相切于点A 所以七 一 4 3 所以切线2 1 的方程为 詈 菇一警 由 二i 耋 鲁 茹一娑 j i 三三 即点Q 的坐标为 i 半 每 茹一警 j i 4 即点Q 的坐标为 8 4 故点Q 在直线菇 8 上 2 当点A 在Q O 上运动时 除去圆与茗轴的交 点 点Q 一定在直线石 8 上 证明 如图2 设A B 的坐 标为A 菇l Y 1 B 茹2 Y 2 由 D A 上Z 1 得切线Z 1 的方程为Y Y 1 一 茹一菇1 即吼菇 一 1 一 L 茹一菇1J 层p 菇1 菇 y 1 l y 1 6 同理可得切线乞的 方程为石2 石 毙 1 6 由A P y Q 胶薪 0N J 图2 B 三点共线得 丛百 三 所以Y l 石2 一茁l 扎 茹1 一Z茗 一二 2 y 一Y 2 显然 当茗 茹 2 时 此式也成立 由 邓 2j 2 专 茹 咱毙 茗 1 6 一 L 茹2 茗 Y 2 Y2 1 6 扎 瑚 8 即点Q 的横坐标茹口 8 即点Q 一定在 直线戈 8 上 点评 上述解法是通性通法 自然具有一般性 有利于对本题进一步的探究 反思 从上述解题过程中 凭直觉思维和对题的 感悟 通过反思题意和解题过程 提出问题 对所涉 及的定点与给定的定直线是否存在什么关系 定点 直线与圆之间是否也有某种关系 能否将其进一步 一般化 等等 2 原题的探究 变式1如图3 设直线 Z 口茹 b y2 萨与G O 石2 y 2 砰相离 从直线Z 上任一点 Q 引圆D 的两条切线Q A 和 q B 切点分别为A B 则直 线A B 过定点P a 6 设A B Q 的坐标分别为 A 茹l Y 1 B x 2 Y 2 Q 茹o 糠 4 图3 则切线Q A 和q B 的方程分别是菇 茹 I 儿 砰 X 2 X Y 2 Y 铲 因点Q 在切线Q A 上 所以茗1 1 Y o 砰 同理屯 托孔 砰 由此可得点A 茹l Y 1 S x 2 兆 的坐标都满足方程 茹 Y o Y 萨 即点A 曰都在直线 茹 R 2 上 故直线舳的方程为 茹 菇 Y o Y 铲 即b x o 茗 b y o y 6 铲 1 又点Q 在直线l a x b y 砰上 所以 萨 2 将 2 代入 1 得如 菇 萨一a x Y 万方数据 4 0 中学数学研究2 0 1 4 年第3 期 6 砰 即 b z 一町 茹 6 一y 砰 令f 一a y 二o 号f 戈27 所以点 口 6 在直 0 0 一 2I I o Y 20 线A B 上 即直线A B 过定点P a 6 以下证明变式1 的逆命题也成立 即有 变式2过定点P a 6 非原点 作不通过原 点的直线与 9 0 石2 严 砰相交于A B 两点 过 A 曰两点分别作圆0 的切线2 1 乞 设Z 与1 2 相交于 点Q 则点Q 在定直线l a x b y R 2 上 点P 在圆 外时 如图4 所示 点P 在圆内时 如图5 所示 二 P t 津 蕊 弋 入 主 甜 6 v J a x b y R 2 猕 弋 一j 图4图5 证明 设A 菇 Y B x 2 Y 2 则切线l 1 2 的方 程分别为1 1 茹1 茗 Y l Y 萨 乞 茹2 茹 Y 2 Y 砰 由x l x Y l Y R 2 j f 2 嘉静 因为 x 2 x rY 2 Y n I 茗 j 生 l 舻 x l y 2 一x 2 Y l 直线A B 不过原点 故y x 2 一X l Y 2 0 即点Q 的坐 标为Q 揣 滞 又直线仙过 我们知道 圆中的很多性质通过类比到圆锥曲 线中去仍然成立 为此 对原题的条件进行适当的改 变 从而得到如下类似问题 类比1 设直线z 等 警 1 与椭圆1 1 蓦 2 鲁 1 口 b 0 相离 从直线z 上任一点Q 引椭 0 圆Q 的两条切线Q A 和Q B 切点分别为A 曰 则直 线A B 过定点P 类比2过定点P 茗 作不通过原点的直 线与椭圆Q 台 1 口 6 o 相交于A B 两 点 过A B 两点分别作椭圆Q 的切线z 2 2 设z 与f 2 相交于点Q 则点Q 在定直线z 等 警 1 上 类比3 设直线z 等一等 1 与双曲线1 1 2 一告 1 口 o b 0 相离 从直线z 上任一点Q 引双曲线Q 的两条切线Q A 和q B 切点分别为A B 则直线A B 过定点P 粕 t o 类比4过定点P 石 y o 作不通过原点的直 线与双曲线l l 一告 1 口 o b o 相交于A B 两点 过A B 两点分别作双曲线Q 的切线Z 2 2 设 z 与乞相交于点Q 则点Q 在定直线z 苎譬一等 1 点P 小艄 砒 埘以碧2 上类比5 设蜊 舻毗吲与抛物粗 争 二芝瑚 y 2 一儿茹 6 茗 一吃 口 托一 当 2 枷相离 从直线f 上任一点Q 引抛物线Q 的两 时 则茄 口 上式也成立 所以 耄絮孝Q A 叩 切点分别为A B 则直线肚过定 口 争 6 j 堕二q 凤1 萎翟三一过定点P 作直线与抛物线Q 乏托 2 Y l r 一d Y l 菇2 x l y 2 v vy 2 夏相交享j 二蔷i 釜 A 两黑芬另i 禧施荔 虹塞等乌观咖c 尝静 线三蕊二 笛篇瓣嚣若蔷翟滚 等 在魈牝簖 砂 萨上 直线尘