集合(重点、难点、易错题完整版).doc

台州市孺子牛教育有限公司 学好数学千万不可把分数的看得过重，关键在于总结 *仅供本公司学员使用* 集合与简易逻辑（重点、易错点）一集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，则P+Q中元素的有_个。 （答：8）（2）设，那么点的充要条件是_ （答：）；（3）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_ _个 （答：7）二遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，且，则实数_ _.（答：）已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若A=，则实数m的取值范围是_（答：m4）三对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如 满足集合M有_个。 （答：7）四集合的运算性质：； ； ； ； ；.如：（1） 设全集，若，则A_ _，B_ _. （答：，）（2） 设全集U=x|0x10,xN*，若AB=3，ACUB=1，5，7，CUACUB=9，则集合A、B是_（答：A=1，3，5，7，B=2，3，4，6，8）五研究集合问题，一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如：函数的定义域；函数的值域；函数图象上的点集，如（1）设集合，集合N，则_ _（答：）；（2）设集合，则_ （答：）六数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：（1）已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。 （答：）（2）已知集合Px|4x5，xR，Qx|k1x2k1，xR，求当PQQ时，实数k的取值范围 （答：k2且k3）七集合语言的转化：由于数学语言的抽象性，有些探索性问题的题设表述不易理解，在解题时若能积极地考虑题设中数或式的几何意义所体现的内在联系，巧妙地转换思维角度，将有利于问题的解决。如：问是否存在自然数k,b，使，试证明你的结论。 （答：b=2， k=1）八.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如：在下列说法中：“且”为真是“或”为真的充分不必要条件； “且”为假是“或”为真的充分不必要条件； “或”为真是“非”为假的必要不充分条件； “非”为真是“且”为假的必要不充分条件。其中正确的是_ （答：）九四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若p 则q” ；逆否命题为“若q 则p”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如：（1）“在ABC中，若C=900，则A、B都是锐角”的否命题为_（答：在中，若，则不都是锐角）；（2）已知函数，证明方程没有负数根。十充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如：（1）给出下列命题： 实数是直线与平行的充要条件； 若是成立的充要条件； 已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_ （答：）；（2）设命题p：；命题q:。若p是q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答：）十一一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。如已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式 的解集为_（答：）十二一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：或或RRR如解关于的不等式：。（答：当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）十三对于方程有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_ （答：）；（2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_.（答：）十四一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？ （、）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况如 实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围_（答：（，1）十五二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。如（1）不等式的解集是，则=_ （答：）；（2）若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为_ （答：）；（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_ （答：）。（4）已知集合,且,求的取值范围 （答：）（5）已知集合,且，求,b的值。 （答：a=-3,b=-4.）集合（难点-集合思想及应用） 难点磁场已知集合A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,且0x2,如果AB,求实数m的取值范围.案例探究例1设A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，证明此结论.例2向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|xP,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A两种可能，此时应分类讨论.难点训练一、选择题1.集合M=x|x=,kZ,N=x|x=,kZ,则( )A.M=NB.MNC.MND.MN=2.已知集合A=x|2x7,B=x|m+1x2m1且B,若AB=A，则( )A.3m4B.3m4 C.2m4D.20,b0,当AB只有一个元素时，a,b的关系式是_.三、解答题5.集合A=x|x2ax+a219=0,B=x|log2(x25x+8)=1，C=x|x2+2x8=0,求当a取什么实数时，AB 和AC=同时成立.6.已知an是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A=(an,)|nN*,B=(x,y)| x2y2=1,x,yR.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)AB至多有一个元素；(3)当a10时，一定有AB.7.已知集合A=z|z2|2,zC,集合B=w|w=zi+b,bR,当AB=B时，求b的值.8.设f(x)=x2+px+q,A=x|x=f(x),B=x|ff(x)=x.(1)求证：AB;(2)如果A=1，3，求B.参考答案难点磁场解：由得x2+(m1)x+1=0AB方程在区间0，2上至少有一个实数解.首先，由=(m1)240,得m3或m1,当m3时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有负根，不符合要求.当m1时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在区间(0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内.故所求m的取值范围是m1.歼灭难点训练一、1.解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(nZ),M=x|x=n+,nZx|x=n+,nZ,对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(nZ),N=x|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZ.答案：C2.解析：AB=A，BA,又B,即2m4.答案：D二、3.a=0或a4.解析：由AB只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线=1相切，则1=,即ab=.答案：ab=三、5.解：log2(x25x+8)=1,由此得x25x+8=2，B=2,3.由x2+2x8=0，C=2,4,又AC=，2和4都不是关于x的方程x2ax+a219=0的解，而AB ,即AB,3是关于x的方程x2ax+a219=0的解，可得a=5或a=2.当a=5时，得A=2，3，AC=2，这与AC=不符合，所以a=5(舍去)；当a=2时，可以求得A=3，5，符合AC=，AB ，a=2.6.解：(1)正确.在等差数列an中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,）的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上.(2)正确.设(x,y)AB,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时AB=；当a10时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解.AB至多有一个元素.(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的xN*,有an=a1+(n1)d=n0, 0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=10.如果AB,那么据(2）的结论，AB中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=0,y0=0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时AB=，所以a10时，一定有AB是不正确的.7.解：由w=zi+b得z=,zA,|z2|2,代入得|2|2,化简得|w(b+i)|1.集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.又AB=B，即BA，两圆内含.因此21,即(b2)20，b=2.8.(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0A.A=x|x=f(x),x0=f(x0