2011年陕西高考数学真题(理科).pdf

学数学 找张老师 电话网址 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试 陕西卷 年普通高等学校招生全国统一考试 陕西卷 数学 数学 理科理科 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 设 a b是向量 命题 若ab 则 a b 的逆命题是 A 若ab 则 a b B 若a b 则 a b C 若 a b 则a b D 若 a b 则a b 2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为2x 则抛物线的方程是 A 2 8yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 4yx 3 设函数 f x xR 满足 2 fxf xf xf x 则 yf x 的图像可能是 4 x R 展开式中的常数项是 A 20 B 15 C 15 D 20 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A 8 2 3 B 8 3 C 8 2 D 2 3 6 函数 f x cosx 在 0 内 A 没有零点 B 有且仅有一个零点 C 有且仅有两个零点 D 有无穷多个零点 x 学数学 找张老师 电话网址 7 设集合 M y x x x R N x x 0 成立 若存在 求出 0 x的取 值范围 若不存在 请说明理由 学数学 找张老师 电话网址 参考答案 16 本小题满分 12 分 如图 在ABC 中 60 90 ABCBACAD 是BC上的高 沿AD把ABC 折起 使90BCD 证明 平面 平面 设 为 的中点 求 AE 与 DB 夹角的余弦值 解 折起前 是 边上的高 当 折起后 AD AD 又 DB 平面 AD 平面平面 BDC 平面 平面 由 90 及 知 DA DC 两两垂直 不防设DB 1 以 D 为坐标原点 以 DB DC DA 所在直线 x y z轴建立如图所示的空间直角坐 标系 易得 D 0 0 0 B 1 0 0 C 0 3 0 A 0 0 3 E 1 2 3 2 0 AE 1 3 3 2 2 DB 1 0 0 AE 与 DB 夹角的余弦值为 学数学 找张老师 电话网址 cos AE DB AEDB AEDB 1 22 2 2222 1 4 17 本小题满分 12 分 如图 设 P 是圆 22 25xy 上的动点 点 D 是 P 在 x 轴上的投影 M 为 PD 上一点 且 4 5 MDPD 当 P 在圆上运动时 求点 M 的轨迹 C 的方程 求过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线被 C 所截线段的长度 解 设 M 的坐标为 x y P 的坐标为 xp yp 由已知 xp x 5 4 p yy P 在圆上 2 2 5 25 4 xy 即 C 的方程为 22 1 2516 xy 过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线方程为 4 3 5 yx 设直线与 C 的交点为 1122 A x yB x y 将直线方程 4 3 5 yx 代入 C 的方程 得 2 2 3 1 2525 xx 即 2 380 xx 12 341341 22 xx 线段 AB 的长度为 222 121212 164141 141 25255 ABxxyyxx 学数学 找张老师 电话网址 注 求 AB 长度时 利用韦达定理或弦长公式求得正确结果 同样得分 18 本小题满分 12 分 叙述并证明余弦定理 解 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的 余弦之积的两倍 或 在 ABC 中 a b c 为 A B C 的对边 有 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 证法一 如图 2 aBC BC ACABACAB 22 2ACACABAB 22 2cosbbcA c 即 222 2cosabcbcA 同理可证 222 2cosbacacB 222 2coscababC 证法二 已知 ABC 中 A B C 所对边分别为 a b c 以 A 为原点 AB 所在直线为 x 轴 建立 直角坐标系 则 22 2ACACAB COSAAB 学数学 找张老师 电话网址 cos sin 0 C bA bA B c 2222 cos sin aBCbA cbA 22222 cos2cossinbAbcA cbA 同理可证 222 2cosbacacB 19 本小题满分 12 分 如图 从点 P1 0 0 作 x 轴的垂线交于曲线 y ex于点 Q1 0 1 曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交与点 P2 再从 P2作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 依次重复上 述过程得到一系列点 P1 QI P2 Q2 Pn Qn 记 k P点的坐标为 k x 0 k 1 2 n 试求 k x与 1k x 的关系 2 k n 求 112233 nn PQPQPQPQ 解 设 11 0 kk Px 由 x ye 得 1 11 k x kk Qxe 点处切线方程为 11 1 kk xx k yeexx 由0y 得 1 1 2 kk xxkn 11 0 1 kk xxx 得 1 k xk 所以 1 k xk kk PQee 于是 112233 nnn SPQPQPQPQ 1 12 1 1 1 1 11 nn n eee eee ee 22 2cosbcbcA 222 2coscababC 学数学 找张老师 电话网址 20 本小题满分 13 分 如图 A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2 据统计 通过两条路径所用的时间互不影响 所用时间落在各时间段内的频率如下表 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站 甲和乙应如何选择各自的路径 用 X 表示甲 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数 针对 的选择方 案 求 X 的分布列和数学期望 解 Ai表示事件 甲选择路径 Li时 40 分钟内赶到火车站 Bi表示事件 乙选择 路径 Li时 50 分钟内赶到火车站 i 1 2 用频率估计相应的概率可得 P A1 0 1 0 2 0 3 0 6 P A2 0 1 0 4 0 5 P A1 P A2 甲应选择 Li P B1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 P B2 0 1 0 4 0 4 0 9 P B2 P B1 乙应选择 L2 A B 分别表示针对 的选择方案 甲 乙在各自允许的时间内赶到火车站 由 知 0 6 0 9P AP B 又由题意知 A B 独立 2 0 6 0 90 54P XP ABP A B 所以 X 的分布列为 学数学 找张老师 电话网址 0 0 04 1 0 422 0 541 5 EX 21 本小题满分 14 分 设函数 f x定义在 0 上 1 0f 导函数 1 fxg xf xfx x 求 g x的单调区间和最小值 讨论 g x与 1 g x 的大小关系 是否存在 0 0 x 使得 0 1 g xg x x 对任意 x 0 成立 若存在 求出 0 x的取 值范围 若不存在 请说明理由 解 由题设易知 lnf xx 1 lng xx x 2 1 x g x x 令 0g x 得1x 当 0 1 x 时 0g x 故 0 1 是 g x的单调减区间 当 1 x 时 0g x 故 1 是 g x的单调增区间 因此 1x 是 g x的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为 1 1g 1 lngxx x 设 11 2lnh xg xgxx xx 则 2 2 1 x h x x 当1x 时 1 0h 即 1 g xg x 当 0 1 1 x 时 0h x 1 0h 因此 h x在 0 内单调递减 当01x 时 1 0h xh 即 1 g xg x 当1x 时 1 0h xh 即 1 g xg x 学数学 找张老师 电话网址 满足条件的0 x不存在 证明如下 证法一 假设存在 0 0 x 使 0 1 g xg x x 对任意0 x 成立 即对任意0 x 有 0 2 Inxg xInx x 但对上述 0 x 取 0 1 g x xe 时 有 10 Inxg x 这与 左边不等式矛盾 因此 不存在 0 0 x 使 0 1 g xg x x 对任意0 x 成立 证法二 假设存在 0 0 x 使 0 1 g xg