2011届高考数学探究性试题汇编017.doc

高中数学探究性试题汇编（二）课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。探究性试题有助于数学思维的提高。11已知函数， （1）若函数，求函数、的解析式； （2）若函数，函数的定义域是1,2， 求的值； （3）设是定义在上的周期为4的奇函数，且函数的图像关于直线 对称。当时，求正数的最小值及函数在-2,2上 的解析式。解：（1） ， (1) ； ； . （2） ，, , ， . 由题设，得. （3）是定义在R上的奇函数， 函数的图象关于直线对称， 在式中以替换，得 由式和式，得 在式中以替换，得 由式和式，得 (14) 是定义在R上的周期为4的奇函数，正数的最小值是1. 当0,1时，当-1,0时，0,1， ，即. 函数的图象关于直线对称， 当(1,2时，2-0,1)， 当-2,-1)当，(1,2，即.A1OB3B2B1A3xyA2 . 12. 已知等差数列的首项为，公差为.对于不同 的自然数n，直线与x轴和指数函数的图像分别交于点（如图所示），记的坐标为，直角梯形、的面积分别为和，一般地记直角梯形的面积为.（1） 求证数列是公比绝对值小于1的等比数列；（2） 设的公差，是否存在这样的正整数n，构成以为边长的三角形？并请说明理由；（3） （理）设的公差为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和S2010？并请说明理由.（文）设的公差，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和S2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由.解（1）， 2分，对于任意自然数n，=，所以数列是等比数列且公比，因为，所以 4分（写成，得公比也可）（2），对每个正整数n， 6分若以为边长能构成一个三角形，则，即，1+24，这是不可能的 9分所以对每一个正整数n，以为边长不能构成三角形 10分（3）（理）由（1）知， 11分所以 14分若 16分两边取对数，知只要取值为小于的实数，就有S201018分说明：如果分别给出与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半。（文）， 11分所以 14分如果存在p使得，即 16分两边取对数得：，因此符合条件的p值存在，可取p= -11等 18分说明：通过具体的p值，验证也可。13函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。(1)求a、b的值； (2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A(3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，所以=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a=。 (2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立，取x=0，则f(0)+f(m0)=4，即=4，m= 4(必要性)又m= 4时，f(x)+f(4x)=4成立(充分性)所以存在常数m= 4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立， (3)|AP|2=(x+3)2+()2，设x+2=t，t0，则|AP|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2+=(t2+)+2(t)+2=(t)2+2(t)+10=( t+1)2+9，所以当t+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3 14.已知元素为实数的集合满足下列条件：1、0；若，则若，求使元素个数最少的集合；在上一小题求得的集合中，任取3个不同元素，求使的概率。（本小题选理科的学生做，选文科的学生不做） 若非空集合为有限集，则你对集合的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确。解 ；使的元素个数最少的集合为设是中三个不同元素，且使，由于中仅有2个负数，故只有如下两种可能：所相对的概率为非空有限集的元素个数是3的倍数证明如下：设则且 由于，但无实数根故同理若存在，而，则且（若中有元素，则利用前述的式可知）于是上述推理还可继续，由于为有限集，故上述推理有限步可中止的元素个数为的倍数。15.已知二次函数满足条件：=，且方程=有等根。(1)求的解析式；(2)是否存在实数m、n(mn)，使的定义域和值域分别是m，n和3m，3n?如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由。.解: (1)由条件易得,7分 (2)假设存在这样的m、n满足条件,由于所以3n即n1,故二次函数f (x)在区间m,n上是增函数, 从而有16已知函数的最大值为正实数，集合，集合。（1）求和；（2）定义与的差集：且。设，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。（3）若函数中， 是（2）中较大的一组，试写出在区间,n上的最大值函数的表达式。 （1），配方得，由得最大值。 ，。 （2）要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则（3）由（2）知 17给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f(x0)，则 称函数y=f(x)在D上封闭。 （1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭，且给出推理过程 f1(x)=2x-1，f2(x)=，f3(x)=2x-1，f4(x)=cosx.； （2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a使函数f(x)=在D2上封闭，若存在， 求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由。解：（1）f1()=0(0,1)，f(x)在D1上不封闭；(2) f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是减函数，0f2(1)f2(x)f2(0)=1， f2(x)(0,1)f2(x)在D1上封闭；(4) f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函数，0=f3(0)f3(x)f3(1)=1， f3(x)(0,1)f3(x)在D1上封闭；(6) f4(x)=cosx在(0,1)上是减函数，cos1=f4(1)f4(x)f4(0)=1， f4(x)(cos1,1)(0,1)f4(x)在D1上封闭；(8) （2）f(x)=5-，假设f(x)在D2上封闭，对a+10讨论如下： 若a+100,则f(x)在(1,2)上为增函数，故应有a=2 (10) 若a+100，则f(x)=5，此与f(x)(1,2)不合，(12) 若a+100，则f(x)在(1,2)上为减函数，故应有,无解,(14) 综上可得，a=2时f(x)在D2上封闭.18（1）已知数列的通项公式：，试求最大项的值；（2）记，且满足（1），若成等比数列，求的值；（3）（理）如果，且是满足（2）的正常数，试证：对于任意自然数，或者都满足；或者都满足。 （文）若是满足（2）的数列，且成等比数列，试求满足不等式：的自然数的最小值。解 （1），则。即的最大项的值为4。 （2）欲使成等比数列，只需成等比数列。，只需或即可。解得或。 （3）（理），。又，。 ，；或。 （文）不合题意，据题意，。19、已知数列中，（）(1)若，求；(2)若，求q, d满足得条件；(3)一个质点从原点出发，依次安向右，向上，向