2019_2020学年高中数学第二章推理与证明章末复习讲义新人教A版选修2.doc

第二章 推理与证明 知识系统整合 规律方法收藏1.图形中的归纳推理问题主要涉及某些固定图形的个数，所以常常需要转化成数列问题来求解，常用的思路有两种：(1)直接查个数，找到变化规律后再猜想；(2)观察图形的变化规律.2.探索性问题是数学中的一类重要问题，如探讨数列的通项、前n项和、立体几何、解析几何中的性质等，在处理时，先采用合情推理猜想、再采用演绎推理的论证方法.3.对于较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“结论”，还是由“结论”靠向“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析或综合显得较为困难为保证探索方向准确且过程快捷，人们又常常把分析与综合两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径把分析法与综合法两者结合起来进行思考，寻求问题的解答途径的方式就是人们通常所说的分析综合法，也就是常说的“两路夹攻，一攻就通”的证明思路.4.解决数学中的证明问题，既要掌握常用的证明方法的思维过程、特点，又要有牢固的数学基础知识另外，还应掌握证明的一些常用方法与技巧，证明常用的方法与技巧有以下几种：(1)换元法换元法是结构较为复杂且量与量之间的关系不甚明了的命题，通过恰当地引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结果，使其转化为便于研究的形式常见的有代数换元与三角换元在应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性.换元法步骤：设元(或构造元)求解回代检验(2)放缩法放缩法常用于证明不等式欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得BB1，B1B2，BiA或AA1，A1A2，AiB，再利用传递性，以达到证明的目的，这种方法叫放缩法应用放缩法时，放缩目标必须确定，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩方法有增项、减项或利用分式的性质、不等式性质、已知不等式、函数的性质等.其放缩技巧主要有以下几种：添加或舍去一些项，如： |a|；n；将分子或分母放大(或缩小)当a，b，c0时，；利用基本不等式，如：lg 3lg 52lg lg lg 4；利用常用结论.的放缩：；.的放缩(a)：(程度大)；.的放缩(b)：(程度小)；.的放缩(c)：(ba0，m0)和b0，m0).(3)判别式法判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出结论的方法利用判别式法证明时，应先将问题转化为与二次三项式相关的问题，再利用判别式法求解，要注意二次项系数是否为零.此外还有导数法、添项法、几何法、构造函数法等.5.用数学归纳法证题的步骤(1)证明当n取第一个值n0(例如n01或n02)时结论正确.(2)假设当nk(kN*，kn0)时结论正确，证明当nk1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后，就可以断定结论对于从n0开始的所有正整数n都正确.应用数学归纳法证明时要注意以下几点：(1)步骤要完整、规范，即“两步一结论”缺一不可，且第二步证明一定要用到归纳假设.(2)n的第一个值n0应根据具体问题来确定.(3)假设当nk(kN*，且kn0)时结论正确，并不一定都是证明nk1时结论也正确如用数学归纳法证明“当n为正偶数时xnyn能被xy整除”，第一步应验证n2时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成假设当nk时命题成立，则当nk2时，命题也成立.(4)用数学归纳法可证明有关正整数的问题，但并不是所有的正整数问题都可以用数学归纳法证明的例如：用数学归纳法证明(nN*)的单调性就难以实现.一般来说，从nk时的情形过渡到nk1的情形时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难做题时要注意具体问题具体分析. 学科思想培优一、归纳推理和类比推理的应用 例1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，图(2)中的1,4,9,16，这样的数称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289 B1024 C1225 D1378解析由图形可得三角形数构成的数列通项an(n1)，正方形数构成的数列通项bnn2，则由bnn2(nN*)可排除D.又由an(n1)，当an289时，即验证是否存在nN*，使得n(n1)578，经计算n不存在；同理，依次验证，有122524950，且3521225，故选C.答案C拓展提升解决此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，注意抽象出的是数列的哪类公式.例2在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是_.解析在进行类比推理时，应该注意平面图形中的点、线分别与空间图形中的线、面类比；平面图形的长度、面积分别与空间图形中的面积、体积类比，结论易得.答案SSSS拓展提升类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、类比、归纳而得出结论通常情况下，平面图形的边长、面积往往类比空间几何体的面积、体积.二、演绎推理的应用例3将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)所有偶数都能被2整除，0 是偶数，所以0能被2整除；(2)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数；(3)通项公式an2n3的数列an为等差数列；(4)函数f(x)x3是奇函数.解(1)所有偶数都能被2整除，(大前提)0是偶数，(小前提)0能被2整除(结论)(2)循环小数是有理数，(大前提)0.33是循环小数，(小前提)0.33是有理数(结论)(3)数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列，(大前提)通项公式an2n3时，若n2，则anan12n32(n1)32(常数)，(小前提)通项公式an2n3表示的数列an为等差数列(结论)(4)对于定义域关于原点对称的函数f(x)，若f(x)f(x)，则函数f(x)是奇函数，(大前提)函数f(x)x3的定义域关于原点对称，f(x)(x)3x3f(x)，即f(x)f(x)，(小前提)所以函数f(x)x3是奇函数(结论)拓展提升用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提；有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提同时省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.三、直接证明例4设a，b，c为三角形三边，面积S(abc)，且S22ab，试证：S2a.证明(分析法)要证S2a，由于S22ab，即2a，所以只需证S，即证bS，因为S(abc)，所以只需证b(abc)，即证bb，所以abc2b，又因为S(abc)，即abc2S，所以2S2b，所以SSbS，由于S22ab，所以2abbS，即2aS，所以原命题得证.拓展提升知识链之间的等价联系是产生一题多解的本质所在，掌握了这个“法宝”，必然会促进解题能力的逐步提高.四、反证法例5设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列.解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾，假设不成立，故an1不是等比数列.拓展提升当命题结论中出现“至多”“至少”“不可能”“都不”“不是”等否定性词语时，常用反证法对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.五、数学归纳法例6用数学归纳法证明：对一切nN*,1.证明(1)当n1时，左边1，右边1，不等式成立.(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即1，则当nk1时，要证1，只需证.因为0，所以，即1，所以当nk1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切nN*都成立.拓展提升本题在知道结果以后，执果索因，用分析法进行证明在解题过程中数学归纳法通常与其他方法综合运用，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法.例7已知点的序列An(xn,0)，nN*，其中x10，x2a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，.(1)写出xn与xn1，xn2之间的关系式(n3)；(2)设anxn1xn，计算a1，a2，a3，由此猜想数列an的通项公式，并加以证明.解(1)当n3时，xn；(2)a1x2x1a，a2x3x2x2(x2x1)，a3x4x3x3(x3x2)a，由此猜想ann1a(nN*)，用数学归纳法证明如下：当n1时，a1x2x1a0a，猜想成立；假设当nk(nN*)时，猜想成立，即a