2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质课后课时精练新人教A版选修2.docVIP

2.4.2 抛物线的简单几何性质A级：基础巩固练一、选择题1设抛物线y22x与过焦点的直线交于A，B两点，则的值是()A. B C3 D3答案B解析抛物线y22x的焦点为，当直线AB斜率不存在时，可得A，B，故1.故选B.2已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，点P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24 C36 D48答案C解析设抛物线方程为y22px(p0)，|AB|即通径为2p12，p6，点P到AB的距离为p6，SABP12636. 故选C.3过抛物线y22px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOAkOB的值为()A4 B4 Cp2 Dp2答案B解析kOAkOB，根据焦点弦的性质，得x1x2，y1y2p2，故kOAkOB4.4直线yxb交抛物线yx2于A，B两点，O为抛物线顶点，OAOB，则b的值为()A1 B0 C1 D2答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将yxb代入yx2，化简可得x22x2b0，故x1x22，x1x22b，所以y1y2x1x2b(x1x2)b2b2.又OAOB，所以x1x2y1y20，即2bb20，则b2或b0，经检验b0时，不满足OAOB，故b2.5设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|等于()A9 B6 C4 D3答案B解析设A，B，C三点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)由题意知F(1,0)，因为0，所以x1x2x33.根据抛物线的定义，有|x11x21x31336.故选B. 6已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k等于()A. B. C. D.答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20，由得k2x2(4k28)x4k20，x1x24，|FA|x1x12，|FB|x2x22，且|FA|2|FB|，x12x22.由得x21，B(1,2)，代入yk(x2)，得k.故选D.二、填空题7抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为_答案解析可判断直线yx4与抛物线y24x相离，设yxm与抛物线y24x相切，则由消去x得y24y4m0.1616m0，m1.又yx4与yx1的距离d，则所求的最小距离为.8顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2xy10所得弦长为，则抛物线方程为_答案y212x或y24x解析设所求抛物线方程为y2ax(a0)，直线变形为y2x1，设抛物线截直线所得弦长为AB.联立消去y得(2x1)2ax，整理得4x2(4a)x10，|AB|，解得a12或a4.所求抛物线方程为y212x或y24x.9过点P(2,2)作抛物线y23x的弦AB，恰被P所平分，则弦AB所在的直线方程为_答案3x4y20解析解法一：设以P为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y3x1，y3x2，y1y24.，得(y1y2)(y1y2)3(x1x2)将代入，得y1y2(x1x2)，即，k.所求弦AB所在直线方程为y2(x2)，即3x4y20.解法二：设弦AB所在直线方程为yk(x2)2.由消去x，得ky23y6k60，此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系，得y1y2，又y1y24，k.所求弦AB所在直线方程为3x4y20.三、解答题10已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，|PF|3.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积解(1)由抛物线的定义可知，|PF|23，p2，抛物线C的方程为y24x.(2)由y24x，得F(1,0)，过点F且倾斜角为30的直线方程为y(x1)与y24x联立，消去x，得y24y40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，y1y24.SOABSOAFSOFB|y1y2|4.B级：能力提升练1已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x1，F是焦点，过点A(2,0)的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N.(1)求抛物线的方程及y1y2的值；(2)若直线PQ，MN的斜率都存在，记直线PQ，MN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值解(1)依题意，设抛物线方程为y22px(p0)，由准线x1，得p2，所以抛物线方程为y24x.由题意，设直线PQ的方程为xmy2，代入y24x，消去x，整理得y24my80，从而y1y28.(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则.设直线PM的方程为xny1，代入y24x，消去x，整理得y24ny40，所以y1y34，同理y2y44.故，为定值2(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以ABMABN.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y