2003--2013北京市历年高考数学真题汇编附详细答案_.doc

2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）（北京卷）一、选择题（1）设集合，则等于（A）（B）（C）（D）或（2）设，则（A）（B）（C）（D）（3）“”是“”的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件4已知是平面，是直线，下列命题中不正确的是（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则5极坐标方程表示的曲线是（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线6若，且，则的最小值是（A）2（B）3（C）4（D）57如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（A）（B）（C）（D）8从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植不同的种植方法共有（A）24种（B）18种（C）12种（D）6种9若数列的通项公式是，则等于（A）（B）（C）（D）10某班试用电子投票系统选举班干部候选人全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”令其中，且，则同时同意第1、2号同学当选的人数为（A）（B）（C）（D）二、填空题11，其中 为偶函数12已知双曲线方程为，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为 13一底面半径为的圆柱，被一平面所截剩下部分母线最大值为，最小值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积为 14一根长为1的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆，当正方形和圆的面积之和最小时，正方形的周长为 三、解答题15已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值16已知数列是等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）设数列（），求数列的前项和公式17已知正三棱柱，底面边长为3，为延长线上一点，且（1）求证：直线面；（2）求二面角的值；（3）求三棱锥的体积18已知椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心（1）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（2）设直线与椭圆交于，（），直线与椭圆次于，（）求证：；（3）对于（2）中的在，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）19有三个新兴城镇分别位于、三点处，且，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图）（1）若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？（2）若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？20设是定义在区间上的函数，且满足条件，对任意的、，都有（1）证明：对任意，都有（2）证明：对任意的都有（3）在区间上是否存在满足题设条件的奇函数且使得若存在请举一例，若不存在，请说明理由 2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1A 2D 3A 4B 5D 6B 7C 8C 9C 10C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11 12 13 14三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （）解：因为所以的最小正周期（）解：因为所以 当时，取得最大值；当时，取得最小值1. 所以在上的最大值为1，最小值为16本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （）解：设数列公差为，则 又所以（）解：令则由得 当时，式减去式，得 所以当时, 综上可得当时, 当时，17本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分. （）证明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四边形BDB1C1是平行四边形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直线BC1/平面AB1D.（）解：过B作BEAD于E，连结EB1，B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中点， 在RtB1BE中，B1EB=60。即二面角B1ADB的大小为60 （）解法一：过A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱锥C1ABB1的体积为 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即三棱锥C1ABB1的体积为18本小主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. （）解：椭圆方程为焦点坐标为 离心率（）证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得整理得根据韦达定理，得 所以 将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得，由，得所以结论成立.（）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线，得解得， 由D、Q、G共线，同理可得 变形得 即 所以19本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （）解：由题设可知，记设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是（）解法一：P至三镇的最远距离为 由解得记于是 当即时，在上是增函数，而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中 解法二:P至三镇的最远距离为 由解得 记于是 当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值. 当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为（0，0），其中解法三：因为在ABC中，AB=AC=所以ABC的外心M在射线AO上，其坐标为， 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，若（如图1），则点M在线段AO上，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1CMC，P2AMA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小. 若(如图2),则点M在线段AO外,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A， 且P1COC，P2AOC，所以点P与BC边中点O重合时，P到三镇的最远距离最小为.答：当时，点P的位置在ABC的外心；当时，点P的位置在原点O.20本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（）证明：由题设条件可知，当时，有即（）证法一：对任意的当不妨设则所以，综上可知，对任意的