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点集拓扑学教学之我见摘 要:点集拓扑学是一门抽象的学科,学生学起来比较困难,因此教师在讲授的过程中应该多联系大学中的一些基础课程,多举一些简单易懂且具有代表性的例子,使得学生深刻理解有关概念和理论。关键词:点集拓扑学;教学;线性空间;数学分析拓扑学是研究几何图形在连续变形下保持不变的性质。拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学、自然科学以及社会科学的许多领域,并且有了日益重要的应用,因此学习拓扑学的基本知识,不仅是为了学习现代数学提供必要的基础知识,而且能从较高观点去观察、分析数学各科的内容,加深对这些内容的认识和理解。由于拓扑的一些基本概念对于初学者来说是比较抽象的,因此有必要结合线性空间及数学分析的一些原理进行区别与联系,从而起到事半功倍的效果。一 、区别线性结构与同构映射,讲解拓扑结构与同胚映射。 线性结构和拓扑结构是空间的两大结构。在数学专业的教学和学习中,分清两者的关系和区别对于初学者来说并不是很容易的一件事情,因此在教学中,教师应根据学生的实际情况,讲清两者的关系,这样可以使学生更深刻的理解拓扑空间及其连续映射的相关概念。在讲解拓扑空间的概念时, 我们指出拓扑空间是一个集合装备上拓扑结构后的空间,拓扑空间中的元素就是集合中的元素,拓扑是一些满足某些性质的开集族,但如果装备不同的拓扑则有不同的拓扑空间。而线性空间是一个满足加法和数量乘法封闭的集合。例如:我们经常用到的实数空间R它既可以看作一个线性空间,它的线性结构就是我们通常定义的加法和数乘运算,也可以看作一个拓扑空间,它的拓扑就是实轴上的所有开集所构成的开集族,它满足拓扑的三条性质,实质它是一个特殊的拓扑线性空间。又如我们定义集合A=1,2,3,定义拓扑=,1,2,3,它是我们平常所说的平庸拓扑,拓扑中开集是空集与它本身,这是最小拓扑,如果定义拓扑=,1,2,3,1,2,3,1,2,1,3,2,3,则它满足拓扑的三条性质,因此(A, )是拓扑空间。而如果我们定义开集族为=,1,2,3, 1,2,1,3,2,3,则它不是一个拓扑,因为存在两个开集的交集不属于这个开集族。对于两个线性空间来讲,如果存在一个一一映射,能保持加法和数乘运算,则称为一个同构映射。如果两个线性空间存在着同构映射,则这两个空间就是同构的,同构的两个空间具有相同的线性结构。对于有限维的线性空间,同构的两个空间具有相同的维数,这也可以看作是这个空间的不变量,它指出只要维数相同,那么它们的线性结构就是一致的。而对于拓扑空间来讲,如果存在一个一一映射,且此映射与它的逆映射都是连续的,则称为同胚映射。如果两个拓扑空间存在着同胚映射,则这两个空间就是同胚的,同胚的两个空间具有相同的拓扑结构。因此,理解两者的区别有助于学生更好的学习拓扑空间的有关理论。拓扑学讲的就是在这个同胚映射下的拓扑不变量,如连通性,可数性、紧致性等。 二、联系数学分析,讲解拓扑学的有关原理。数学分析讲述的是实数集上的拓扑学,因此它对于学习拓扑学有着不可估量的作用,因此我们在学习与讲授点集拓扑时,有必要联系数学分析的有关结论去教学,这样使得我们的教学内容不空洞乏味,并且还加深了对数学分析的理解,同时也学习了新的理论和方法。如我们在讲过可数性公理之后,可举例说明实数空间上的连续函数,如果知道有理点处的函数的解析表达式,那么我们可以根据实数的稠密性和连续函数知道函数的解析表达式;在讲过Hausdorff空间之后,我们就知道数列或者函数极限的唯一性结论是显然的。再如在讲授紧致性的内容时,可以先考虑实数空间中的闭区间,作为实数空间的子区间,它具有以下性质:每一个开覆盖都有有限子覆盖;每一个可数开覆盖都有有限的子覆盖;每一序列都有收敛的子序列;每一无限子集都有聚点。根据这些性质,我们又可以定义四类拓扑空间:紧空间、可数紧空间、序列紧空间、列紧空间。从中我们对这些空间就产生了浓厚的求知欲望和学习兴趣。三、 结合实例,注重教学方法 点集拓扑学不同于数学系本科专业的其他课程,如数学分析、高等代数、微分方程等课程,几乎没有计算之类的内容,逻辑性强,内容抽象;而且基本概念是比较多的,对于初学者是比较困难的,在很多教材里,介绍了一些概念之后,接着是一连串的定理及冗长的证明,例子少,有些教材中出现的例子也比较抽象,如果照本宣科,必然会导致学生厌学,因此有必要把基本概念和以前学过的基本概念和实例相联系区别。如果在教学中渗透一些具体的实例,这样就有利于激发学生的学习兴趣,也有助于学生对基本概念方法和原理的理解,使得基本的概念不显得空洞,有声有色。如对于欧拉示性数,我们可以举例,长方体面的个数为6,长方体的棱有12条,顶点有8个,6-12+8=2,那么这个2是不是巧合?不是,任意一个凸多面体,其面的个数-棱的条数+顶点的个数=2,这个2就是拓扑学中的欧拉示性数。总之,点集拓扑学作为本科阶段的一门专业课程,由于它的高度抽象性,学习起来比较困难,对教师来说又比较难教。如何教好这门课,是点集拓扑教学过程中值得深入研究的问题,我们只是略微探讨,但仍有许多好的教学方法有待于我们进

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