2011年湖北高考理科数学试题.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置,再用2B铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答:用0.5毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题和答题卡一并交上.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位,则=A. B.-1 C. D.12.已知,则=A. B. C. D.3.已知函数,若,则的取值范围为A. B.C. D.4.将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为,则A. B. C. D.5.已知随机变量服从正态分布,且,则A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.26.已知定义在上的奇函数和偶函数满足（0,且）若,则=A.2 B. C. D.7.如图,用、三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且、至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.5768.已知向量,且若满足不等式,则的取值范围为A.-2，2 B.-2，3 C.-3，2 D.-3，39.若实数满足且,则称与互补,记那么是与互补的A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：,其中为时铯137的含量.已知时,铯137含量的变化率是（太贝克年）,则A.5太贝克 B.太贝克C.太贝克 D.150太贝克二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其中答案按先后次序填写.答错位置,书写不清,模棱俩可均不给分.11.的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示）12.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）13九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升.14.如图,直角坐标系所在的平面为,直角坐标系（其中轴与轴重合）所在的平面为，.（）已知平面内有一点,则点在平面内的射影的坐标为 ；（）已知平面内的曲线的方程是,则曲线在平面内的射影的方程是 .15.给个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）三、解答题;本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分10分）设的内角所对的边分别为,已知（）求的周长（）求的值17.（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度（单位:千米/小时）是车流密度（单位:辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当时,车流速度是车流密度的一次函数（）当时,求函数的表达式;（）当车流密度为多大时,车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每小时）可以达到最大,并求出最大值（精确到1辆/小时）18.（本小题满分12分）如图,已知正三棱柱的各棱长都是4,是的中点,动点在侧棱上,且不与点重合（）当时,求证:;（）设二面角的大小为,求的最小值19.（本小题满分13分）已知数列的前项和为,且满足:, N*，（）求数列的通项公式;（）若存在,使得,成等差数列,试判断:对于任意的,且,是否成等差数列,并证明你的结论20.（本小题满分14分）平面内与两定点,连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹,加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线的方程,并讨论的形状与值的关系;（）当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,设、是的两个焦点.试问:在上,是否存在点,使得的面积.若存在,求的值;若不存在,请说明理由.21.（本小题满分14分）（）已知函数,求函数的最大值;（）设，均为正数,证明:（1）若,则;（2）若=1,则参考答案一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。1-10 AABCCBBDCD二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分。1117 12 13 14（2，2）， 1521，43三、解答题：本大题共6小题，共75分。16解：（）的周长为 （），故A为锐角，17解：（）由题意：当；当再由已知得故函数的表达式为 （）依题意并由（）可得当为增函数，故当时，其最大值为6020=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立。所以，当在区间20，200上取得最大值综上，当时，在区间0，200上取得最大值。即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。18解法1：过E作于N，连结EF。 （I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知， 底面ABC侧面A1C。 又度面侧面A，C=AC，且底面ABC， 所以侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，在中，=1，则由，得NF/AC1，又故。由三垂线定理知（II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME。由（I）知侧面A1C，根据三垂线定理得所以是二面角CAFE的平面角，即，设在中，在故又故当时，达到最小值；，此时F与C1重合。解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得于是则故（II）设，平面AEF的一个法向量为，则由（I）得F（0，4，），于是由可得取 又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为， 于是由为锐角可得， 所以， 由，得，即 故当，即点F与点C1重合时，取得最小值19解：（I）由已知可得，两式相减可得 即 又所以r=0时， 数列为：a，0，0，； 当时，由已知（）， 于是由可得， 成等比数列， ， 综上，数列的通项公式为 （II）对于任意的，且成等差数列，证明如下： 当r=0时，由（I）知， 对于任意的，且成等差数列， 当，时， 若存在，使得成等差数列， 则， 由（I）知，的公比，于是 对于任意的，且 成等差数列， 综上，对于任意的，且成等差数列。20解：（I）设动点为M，其坐标为， 当时，由条件可得即，又的坐标满足故依题意，曲线C的方程为当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为当时，C2的两个焦点分别为对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是由得由得当或时，存在点N，使S=|m|a2；当或时，不存在满足条件的点N，当时，由，可得令，则由，从而，于是由，可得综上可得：当时，在C1上，存在点