归纳数列求和各种方法.ppt

一 公式法1 如果一个数列是等差数列或等比数列 则求和时直接利用等差 等比数列的前n项和公式 注意等比数列公比q的取值情况要分q 1或q 1 1 1 2 3 4 n 2 1 3 5 7 2n 1 3 2 4 6 8 2n n2 n2 n 二 非等差 等比数列求和的常用方法1 倒序相加法如果一个数列 an 首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一常数 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法 如等差数列的前n项和即是用此法推导的 2 分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 则求和时可用分组转化法 分别求和而后相加减 分组求和法 数列 1 n n 的前n项和Sn 3 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用此法来求 错位相减法 设 an 的前n项和为Sn an n 2n 则Sn 4 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 1 一般的数列求和 应从通项入手 若无通项 先求通项 然后通过对通项变形 转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式 从而选择合适的方法求和 数列求和的方法 2 解决非等差 等比数列的求和 主要有两种思路 转化的思想 即将一般数列设法转化为等差或等比数列 这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成 不能转化为等差或等比数列的数列 往往通过裂项相消法 错位相减法 倒序相加法等来求和 例1 2011 山东高考 等比数列 an 中 a1 a2 a3分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且a1 a2 a3中的任何两个数不在下表的同一列 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 bn an 1 nlnan 求 bn 的前2n项和S2n 自主解答 1 当a1 3时 不合题意 当a1 2时 当且仅当a2 6 a3 18时 符合题意 当a1 10时 不合题意 因此a1 2 a2 6 a3 18 所以公比q 3 故an 2 3n 1 2 2011 北京东城二模 已知 an 是首项为19 公差为 2的等差数列 Sn为 an 的前n项和 1 求通项an及Sn 2 设 bn an 是首项为1 公比为3的等比数列 求数列 bn 的通项公式及其前n项和Tn 冲关锦囊 分组求和常见类型及方法 1 an kn b 利用等差数列前n项和公式直接求解 2 an a qn 1 利用等比数列前n项和公式直接求解 3 an bn cn 数列 bn cn 是等比数列或等差数列 采用分组求和法求 an 的前n项和 在本例条件不变情况下 求数列 2n 1 an 的前n项和Sn 冲关锦囊 用错位相减法求和时 应注意 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 Sn 与 qSn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 Sn qSn 的表达式 巧练模拟 课堂突破保分题 分分必保 答案 A 解 1 证明 由题意得2bn 1 bn 1 bn 1 1 2bn 2 2 bn 1 又 a1 2b1 1 1 b1 0 b1 1 1 0 故数列 bn 1 是以1为首项 2为公比的等比数列 12分 2010 四川高考 已知等差数列 a