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“斜交分解法”在高中物理中的应用 08备考综合热身辅导系列 山东平原一中 魏德田 253100我们都知道，过一定点做出不相垂直的两个坐标轴，可组成平面斜交坐标系；而应用平行四边形（或三角形）定则，把矢量向不相垂直的两直线方向分解，叫做斜交分解。在高中物理中，利用矢量的“斜交分解法”（以下简称 “斜分法”）则可解决许多极有价值的物理问题。 一、用“斜分法”解物体的平衡问题图1例题1如图1所示，重力为G的球放在倾角为的光滑斜面上，在斜面上有一光滑且不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使挡板与斜面的夹角缓慢增大，试分析在此过程中球分别对挡板、斜面的压力大小如何变化。解析首先，以球心为坐标原点，建立如图2所示的平面斜角坐标系Oxy。由平衡条件推出“诸力平衡时沿任意两条斜交轴线的合力均为零”（以下称“推论”），可得图2N1N2GG2yxoG1 在三角形OGG2中，根据正弦定理可得 联立式，可得 当由挡板与斜面的夹角（180-）900缓慢增大时，1sin0或1sinsin，故由式可知板对球的弹力N1先减小后增大，其方向也在变化；当为直角时，可得N1min=Gsin的极小值。同理，可得，-cotcot，故由式可知斜面对球的弹力一直减小，其方向亦保持不变；当为直角时，可得N2=Gcos。点拨应用说明，“斜分法”解决此类“平衡问题”的步骤：第一，确定研究对象，对其作受力分析；第二，建立平面斜交坐标系Oxy,使尽可能多的力分布于两轴上；第三，把不在轴上的力分别向两轴做斜交分解（注：非正交投影）；第四，分别在两轴应用平衡条件求出合力的两个分量，建立方程组Fx=0，Fy=0 ；第五，根据正（或余）弦定理、拉密公式、或合力的计算公式等等求解。ABCD图3？ 例题2（高考模拟）如图3（左）所示，用细绳悬挂两个质量为m、2m,电荷量分别为-q、+q的小球1、2。现在该装置所在区域施加一与水平成30角、斜向右上的匀强电场E，问：该装置平衡状态属于图3（右）中的那一个？若电场强度E=mg/q，设上、下两段细绳所受的张力大小为T1、T2，试求它们的大小和方向？m1gm2gT1T2T2F2F1xy图4解析为简便起见，我们先看图4（右C）的情况。如图4所示，沿竖直、与水平成30角两方向建立平面“斜交坐标系”Oxy。先对系统作“整体”分析，由“推论”可得 显见，上段细绳对球1的拉力T1=3mg，其方向是竖直向上的。进一步分析，小球2在此种情况下亦能保持平衡。因此，该装置平衡状态属于图3（右）中的C.图560m2gF2T2T2XyxT2yO2 再对小球2作“隔离”分析,如图5所示。由“推论”容易得 在三角形o2T2T2y中，显然=60。设T2与竖直向上成角，根据正弦定理、余弦定理，可得联立式，即可求出 点拨此例属于静电场中的连接体问题。类似上例处理，且于解题中“先整体后隔离”分析受力，不但应用力的“斜分法”、平衡的“推论”，又应用了正弦定理、余弦定理。还应说明，亦可由式写出正弦定理的相应比例式求解，但由于求角的数学运算比较麻烦而不取。 二、用“斜分法”解匀变速运动问题例题3如图6所示，曲线为带电量为+q、质量为m的小球，在场强为E、水平方向的的匀强电场中做抛体运动的轨迹，某时刻在P点的速度为v0、与水平方向成23角，经时间t到达Q点。已知E=mg3/4q,试求：速度改变的大小和方向；速度v的大小和方向。解析 首先，分析可知小球在水平方向的电场力qE、竖直向下的重力mg的作用，其合力F为两力的矢量和，如图7所示。设合力与水平方向成角，由勾股定理、几何关系得v0vv0vP2Q2图6 qEmgF合图7又，设此过程的速度改变为（参见图6），根据动量定理可得 由式，即可求出 显然，速度v可“斜交分解”为初速度v0、速度改变v；设初、末速度v0、v之间的夹角为，由数学知识可得， 在三角形Qvv中，设速度v与v之夹角为，由合力计算公式（或余弦定理等）又得Om图8 从而，由即可求出最后结果 其中，指末速度v与速度改变v（亦即合力）的夹角。进而，可得末速度v与水平方向的夹角 点拨此例把“正交合成”与“斜交分解”结合起来应用。先“正交合成”电场力qE、重力mg求出其合力，作为等效重力对待；再把末速度v斜交分解，利用合力计算公式（或余弦定理等）来解决。例题4如图8所示，一物体在三段细绳的共同作用下，竖直向上以加速度a做匀加速运动。若细绳1、2与竖直方向分别成、的任意角，物体的质量为m，试求:三段细绳承受拉力各为多大？解析 首先，如图9所示，三段细绳1、2、3对结点的拉力分别为F1、F2和F3，F则为F1、F2的合力。分别对系统、结点O，根据牛二定律可得F1F2Oa图9F3F 然后，由拉密公式又得 最后，联立式，即可求出 点拨此例先“整体”分析，应用牛二定律求出竖直向上的等效拉力F，该拉力即可“斜交分解”为F1、F2；继之，再对结点O“隔离”分析，最后则应用了拉密公式。三、用“斜分法”解变速圆运动问题例题5如图10所示，用细绳拴一小球在竖直平面内做变速圆周运动。当小球在最低点P时的速度为v1，经过一段时间转过圆心角为，到达Q点速度为v2。试求：小球的轨道半径和相应位移的大小；合外力的冲量的大小和方向？解析 如图11所示，依题意设小球对最低点的高度为h, 。由 机械能守恒定律（或动能定理）可得v2v1图10 再设圆运动轨道半径（绳长）为L, 以图内粗实矢量表示相应时间内的位移s。由线段间的几何关系可得v2v1图11hL 由此，我们即可求出以下结果 欲求合外力的冲量，先求速度变化。显然，末速度V2 可“斜交分解”为初速度v1 、速度变化v，而v所对的角等于半径转过的圆心角，如图12所示。从而，由余弦定理可得v1v2v图12 进而，由动量定理求出合外力冲量的大小 再设V与初速度V1的夹角为，则根据正弦定理又得 由此可以求出下式 我们知道，合外力冲量与速度改变的方向总是一致的，因而，此式表示