2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算讲义新人教A版选修2.doc

3.1.2空间向量的数乘运算1空间向量的数乘运算(1)定义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算(2)向量a与a的关系的范围方向关系模的关系0方向相同a的模是a的模的|倍0a0，其方向是任意的0方向相反 (3)空间向量的数乘运算律设，是实数，则有：分配律：(ab)ab.结合律：(a)()a.2共线向量与共面向量(1)共线(平行)向量(2)共面向量 1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量()(3)如果t，则P，A，B共线()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若|a|5，b与a的方向相反，且|b|7，则a_b.(2)已知b5a(|a|2)，则向量b的长度为_，向量b的方向与向量a的方向_(3)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若xy()，则x_，y_.(4)(教材改编P89T1)已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则()等于_答案(1)(2)10相反(3)1(4)解析(4)()(2).探究1空间向量的数乘运算例1已知正四棱锥PABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值(1)yz；(2)xy.解(1)如图，()，yz.(2)O为AC的中点，Q为CD的中点，2，2，2，2，22，x2，y2.拓展提升利用向量的线性运算求参数的技巧利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数【跟踪训练1】如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简：；(2)设E是棱DD1上的点，且，若xyz，试求实数x，y，z的值解(1)().(2)连接AE，则()，x，y，z. 探究2共线向量例2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明连接EF，EB，设a，b，c.2，.b，()()abc.abc.又bcaabc，E，F，B三点共线条件探究将例2的条件改为“O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M”求证：C1，O，M三点共线证明连接AO，AC1，A1C1.，().2，2，(2).1，C1，O，M三点共线拓展提升1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：ab，b0，则存在唯一实数，使ab；若存在唯一实数，使ab，b0，则ab.(2)判断向量共线的关键：找到实数.2证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线(1)存在实数，使成立(2)对空间任一点O，有t(tR)(3)对空间任一点O，有xy(xy1)【跟踪训练2】已知向量e1，e2不共线，a3e14e2，b3e18e2，判断a与b是否共线解设ab，即3e14e2(3e18e2)，e1，e2不共线，无解不存在，使ab，即a与b不共线探究3共面向量例3如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使k，求证：E，F，G，H四点共面证明因为k，所以k，k，k，k.由于四边形ABCD是平行四边形，所以，因此kkkk()k().由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面拓展提升证明向量共面、点共面的常用方法(1)证明空间三个向量共面，常用如下方法设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若axbyc，则向量a，b，c共面；寻找平面，证明这些向量与平面平行(2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面xy；对空间任一点O，xy；对空间任一点O，xyz(xyz1)；(或，或)【跟踪训练3】(1)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_.答案解析点P与A，B，C三点共面，1，解得.(2)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足.判断，三个向量是否共面；判断点M是否在平面ABC内解3，()()，即，向量，共面由知向量，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内 1.四点P，A，B，C共面对空间任意一点O，都有xyz，且xyz1. 2.xy称为空间平面ABC的向量表达式由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 3.证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数，使(或)即可，也可用“对空间任意一点O，有t(1t)”来证明A，B，C三点共线. 4.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式这个充要条件常用于证明四点共面.1给出下列命题：a“从上海往正北平移9 km”，b“从北京往正北平移3 km”，那么a3b；(ab)c(ad)b(1)a(cd)；把正方形ABCD平移向量m到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；有直线l，且la，在l上有点B，若2a，则Cl.其中正确的命题是()A B C D答案C解析由向量相等与起点无关易知正确；由向量的数乘运算满足分配律及向量的加减运算满足交换律和结合律易知正确；中轨迹形成的几何体是平行六面体，不一定是正方体，错误；由2a知与l直线平行，又B在l上，所以Cl，故正确故选C.2已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D答案A解析由已知可得a2b，2a4b，所以2，即，是共线向量，所以A，B，D三点共线3已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有x，则x的值为()A1 B0 C3 D.答案D解析x，且M，A，B，C四点共面，x1，x.4在平行六面体ABCDEFGH中，若x2y3z，则xyz