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第四章平面任意力系 平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系的平衡条件和平衡方程物体系统的平衡 静定和超静定问题平面简单桁架的内力计算 4 1工程中的平面任意力系问题 4 2力线平移定理 可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B 但必须同时附加一个力偶 这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩 力线平移定理的另一个用法 可把一个力和一个力偶合成一个力 正步骤 逆步骤 主矢和主矩 4 3平面任意力系向作用面内一点简化 平面汇交力系 力 FR 主矢 作用在简化中心 平面力偶系 力偶 MO 主矩 作用在该平面上 平面任意力系 平面汇交力系 平面力偶系 其中平面汇交力系的合力为 平面力偶系的合成结果为 大小 方向 作用点 作用于简化中心上 主矩 平面任意力系向作用面内任一点O简化 可得一个力和一个力偶 这个力等于该力系的主矢 作用线通过简化中心O 这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩 主矢与简化中心的位置无关 主矩和简化中心的位置有关 平面固定端约束 1 平面任意力系简化为一个力偶 原平面一般力系等效为一个平面力偶系 合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩 由于力偶在同一平面内可移转 所以此时的简化结果与简化中心无关 F R 0 MO 0 4 4平面任意力系的简化结果分析 2 平面任意力系简化为一个合力的情形 合力矩定理 如果主矩等于零 主矢不等于零 则此时平面力系简化为一合力 作用线恰好通过简化中心 如果主矢和主矩均不等于零 此时还可进一步简化为一合力 如图 d FR FR MO 结论 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和 这就是平面任意力系的合力矩定理 FR 从图中可以看出 所以 由主矩的定义知 主矢 主矩 最后结果 说明 合力 合力 合力作用线过简化中心 合力作用线距简化中心 合力偶 平衡 与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关 简化中心 A点 思考 三角形分布载荷处理 分布在较大范围内 不能看作集中力的载荷称分布载荷 若分布载荷可以简化为沿物体中心线分布的平行力 则称此力系为平行分布线载荷 简称线载荷 载荷集度q量纲 力 长度 分布载荷问题 主矢 主矩 简化最终结果 y x 结论 1 合力的大小等于线载荷所组成几何图形的面积 2 合力的方向与线载荷的方向相同 3 合力的作用线通过载荷图的形心 1 均布载荷 2 三角形载荷 3 梯形载荷 可以看作一个三角形荷载和一个均布载荷的叠加 例4 1 已知 求 力系的合力 解 1 力系向o点简化 主矢 主矩 2 求合力及其作用线位置 平面任意力系平衡的充要条件是 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零 即 4 5平面任意力系的平衡条件和平衡方程 因为 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的解析条件是 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零 以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零 平面任意力系平衡方程的三种形式 1 一般式 2 二矩式 两个取矩点连线 不得与投影轴垂直 由后面两式知 力系不可能简化为一力偶 只能简化为过A B两点的一合力或处于平衡 再加第一条件 若AB连线不垂直于x轴 投影轴 则力系必平衡 3 三矩式 三个取矩点 不得共线 由前面两式知 力系不可能简化为一力偶 只能简化为过A B两点的一合力或处于平衡 再加第三条件 力系只能简化为过A B C三点的一合力或处于平衡 若三点不在同一直线上 则力系必平衡 注意 以上格式分别有三个独立方程 最多只能求出三个未知数 例4 2 已知 求 支座A B处的约束力 解 取AB梁 画受力图 解得 解得 解得 例4 3 已知 求 固定端A处约束力 解 取T型刚架 画受力图 其中 4 6平面平行力系的平衡方程 平面平行力系的方程只有两个 有两种形式 各力不得与投影轴垂直 A B两点连线不得与各力平行 已知 尺寸如图 求 1 起重机满载和空载时不翻倒 平衡载重P3 2 P3 180kN 轨道AB给起重机轮子的约束力 解 1 取起重机 画受力图 满载时 就翻倒 解得P3min 75kN 例4 4 P3 180kN时 FB 870kN FA 210kN 空载时 就翻倒 4P3max 2P1 0 F3max 350kN 2 4 7刚体系的平衡问题 由多个物体通过约束所组成的系统称为刚体系统 外界物体作用于系统的力称该系统的外力 系统内各刚体间相互作用的力称该系统的内力 当整个系统平衡时 系统内每个刚体都平衡 反之 系统中每个刚体都平衡 则系统必然平衡 因此 当研究刚体系统的平衡时 研究对象可以是整体 也可以是局部 也可以是单个刚体 1刚体系统静定的判断 在静力学中求解刚体系统的平衡问题时 若未知量的数目 m 不超过独立平衡方程数目 3n 则由刚体静力学理论 可把全部未知量求出 这类问题称为静定问题 若未知量的数目多于独立平衡方程数目 则全部未知量用刚体静力学理论无法求出 这类问题称为静不定问题或超静定问题 而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数 k m 3n 静不定问题在强度力学 材力 结力 弹力 中用位移协调条件来求解 静定 未知数三个 静不定 未知数四个 判断各图的超静定次数 例4 5 求力偶矩M的大小 轴承O处的约束力 连杆AB受力 冲头给导轨的侧压力 解 1 取冲头B 画受力图 2物体系平衡例题 2 取轮 画受力图 例4 6 已知 F 20kN q 10kN m L 1m 求 A B处的约束力 解 1 取CD梁 画受力图 解得FB 45 77kN 解得 解得 解得 2 取整体 画受力图 例4 7 DC CE CA CB 2l R 2r l P 自重不计 求A E支座处约束力及BD杆受力 解 1 取整体 画受力图 解得 解得 解得 2 取DCE杆 画受力图 解得 拉 例4 8 已知 F a 各杆重不计 求 B铰处约束反力 解 1 取整体 画受力图 解得 2 取DEF杆 画受力图 得 得 3 对ADB杆受力图 得 例6 例4 9求图示多跨静定梁的支座约束力 解 先以CD为研究对象 受力如图 再以整体为研究对象 受力如图 FCx FCy FD q F FAx FAy FD FB q 解得 例7 例4 10求图示结构固定端的约束力 解 先以BC为研究对象 受力如图 再以AB部分为研究对象 受力如图 求得 FB M FC F B FAy q F MA FAx 4 8平面简单桁架的内力计算 工程中的桁架结构 桁架是由杆件彼此在两端用铰链连接形成的几何形状不变的结构 桁架中所有杆件都在同一平面内的桁架称为平面桁架 桁架中的铰链接头称为节点 为简化桁架计算 工程实际中采用以下几个假设 1 桁架的杆件都是直杆 2 杆件用光滑铰链连接 3 桁架所受的力都作用到节点上且在桁架平面内 4 桁架杆件的重量略去不计 或平均分配在杆件两端的节点上 这样的桁架 称为理想桁架 总杆数 总节点数 2 平面复杂 超静定 桁架 平面简单 静定 桁架 非桁架 机构 1 节点法求解平面桁架 桁架内每个节点都受平面汇交力系作用 为求桁架内每个杆件的内力 逐个取桁架内每个节点为研究对象 求桁架杆件内力的方法即为节点法 例4 11 已知 P 10kN 尺寸如图 求桁架各杆件受力 解 1 取整体 画受力图 2 取节点A 画受力图 解得 压 解得 拉 3 取节点C 画受力图 解得 压 解得 拉 4 取节点D 画受力图 解得 拉 三杆节点无载荷 其中两杆在一条直线上 另一杆必为零力杆 四杆节点无载荷 其中两两在一条直线上 同一直线上两杆内力等值 两杆节点无载荷 且两杆不在一