南通市2014届高三第二次调研测试.doc

南通市2014届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 已知集合，则 【答案】2 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 【答案】3 复数（其中i为虚数单位）的模为 【答案】4从编号为0，1，2，79的80件产品中，采用系统抽样的 （第5题）方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 【答案】765 根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为 【答案】486 若，则a的取值范围是 【答案】7 若函数为奇函数，其图象的一条切线方程为，则b的值为 【答案】8. 设l，m表示直线，m是平面内的任意一条直线则“”是“”成立的 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个） 【答案】充要9 在平面直角坐标系xOy中，设是半圆：（）上一点，直线的倾斜角为45，过点作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交半圆于点，则直线的方程是 【答案】10在ABC中，D是BC的中点，AD8，BC20，则的值为 【答案】3611设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列，且，成等差数列，则的值是 【答案】12设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为 【答案】13 若不等式(mx1)3m 2( x + 1)m10对任意恒成立，则实数x的值为 【答案】114设实数a，b，c满足a2b2 c1，则abc的最小值为 【答案】二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）在ABC中，已知求：（1）AB的值；（2）的值【解】（1）（方法1）因为， 4分所以，即， 亦即，故 7分（方法2）设A，B，C的对边依次为a，b，c，则由条件得 3分两式相加得，即，故 7分（方法3）设A，B，C的对边依次为a，b，c，则由条件得 3分由余弦定理得，两式相加得，故 7分（2） 10分由正弦定理得 14分16（本小题满分14分） PABCDE（第16题）在四棱锥PABCD中，ABDC，AB平面PAD， PDAD，AB2DC，E是PB的中点求证：（1）CE平面PAD；（2）平面PBC平面PAB【证】（1）（方法1）取PA的中点F，连EF，DF 2分因为E是PB的中点，所以EF / AB，且因为ABCD，AB2DC，所以EFCD， 4分，于是四边形DCEF是平行四边形， 从而CEDF，而平面PAD，平面PAD，PABCDE（第16题）FM故CE平面PAD 7分（方法2）取AB的中点M，连EM，CM 2分因为E是PB的中点，所以EM / PA因为ABCD，AB2DC，所以CM / AD 4分因为平面PAD，平面PAD，所以EM平面PAD同理，CM平面PAD 因为，平面CEM， 所以平面CEM平面PAD而平面PAD，故CE平面PAD 7分 （2）（接（1）中方法1）因为PDAD，且F是PA的中点，所以 因为AB平面PAD，平面PAD，所以 10分 因为CEDF，所以，因为平面PAB，所以平面PAB 因为平面PBC，所以平面PBC平面PAB 14分 17（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天? （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度则当时，由，解得，所以此时 3分当时，由解得，所以此时综合得，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天 7分（2）设从第一次喷洒起，经x（）天，浓度 10分因为，而，所以，故当且仅当时，y有最小值为.令，解得，所以a的最小值为 14分18（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：所围成的封闭图形的面积为，曲线C1上的点到原点O的最短距离为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线M是l上的点（与O不重合）若MO2OA，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；若M是l与椭圆C2的交点，求AMB的面积的最小值【解】（1）由题意得 又，解得， 因此所求椭圆的标准方程为 4分（2）设，则由题设知：，即 解得 8分因为点在椭圆C2上，所以，即，亦即所以点M的轨迹方程为 10分 （方法1）设，则，因为点A在椭圆C2上，所以，即 （i）又 （ii）（i）+（ii）得， 13分所以.当且仅当（即）时，. 16分（方法2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为ykx(k0)解方程组 得， 所以，.又 解得，所以 12分（解法1）由于，当且仅当时等号成立，即k1时等号成立，此时AMB面积的最小值是SAMB 15分 当k0，SAMB； 当k不存在时，SAMB综上所述，AMB面积的最小值为 16分（解法2）因为， 又，于是，当且仅当时等号成立，即k1时等号成立（后同方法1）19(本小题满分16分) 设数列an的首项不为零，前n项和为Sn，且对任意的r，tN*，都有 （1）求数列an的通项公式（用a1表示）； （2）设a1=1，b1=3，求证：数列为等比数列； （3）在（2）的条件下，求【解】（1）因为，令，则，得，即 2分当时，且当时，此式也成立故数列an的通项公式为 5分（2）当时，由（1）知，Snn2依题意，时， 7分于是，且，故数列是首项为1，公比为2的等比数列 10分（3）由（2）得，所以 12分于是 15分所以 16分20(本小题满分16分)设函数，其图象与轴交于，两点，且x1x2（1）求的取值范围；（2）证明：（为函数的导函数）；（3）设点C在函数的图象上，且ABC为等腰直角三角形，记，求的值【解】（1）若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾 2分所以，令，则当时，是单调减函数；时，是单调增函数；于是当时，取得极小值 4分因为函数的图象与轴交于两点，(x1x2)，所以，即.此时，存在；存在，又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围. 6分（2）因为 两式相减得 记，则， 8分设，则，所以是单调减函数，则有，而，所以又是单调增函数，且所以 11分（3）依题意有，则于是，在等腰三角形ABC中，显然C = 90， 13分所以，即，由直角三角形斜边的中线性质，可知，所以，即，所以，即 因为，则，又，所以， 15分即，所以 16分南通市2014届高三第二次调研测试数学（附加题） 21A选修41：几何证明选讲BDCAPE（第21A题）如图，ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP/AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P求证：PAEBDE【证明】因为PA是圆O在点A处的切线，所以PABACB 因为PDAC，所以EDBACB，所以PAEPABACBBDE又PEABED，故PAEBDE 10分21B选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，且M求矩阵M【解】设，则由，得 再由，得 联立以上方程组解得a2，b1，c0，d1，故 10分21C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，设动点P，Q都在曲线C：（为参数）上，且这两点对应的参数分别为与2(02)，设PQ的中点M与定点A(1，0)间的距离为d，求d的取值范围【解】由题设可知P(1+2cos，2sin)，Q(1+2cos2，sin2)， 2分于是PQ的中点M 4分从而 6分因为02，所以1cos1， 8分于是0d 24，故d的取值范围是 10分21D选修45：不等式选讲已知：R求证：证明：因为|m|+|n|mn|，所以 8分又2，故3所以 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.（本小题满分10分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱AB上一点且ABCDD1A1B1C1E（第22题） （1）证明：； （2）若二面角D1ECD的大小为，求的值【证】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系不妨设AD =AA11，AB2，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)因为，所以，于是(1，0，1)所以故D1EA1D 5分（2）因为D1D平面ABCD，所以平面DEC的法向量为n1(0，0，1)又，(0，2，1)设平面D1CE的法向量为n2(x，y，z)，则n2，n2，所以向量n2的一个解为因为二面角D1ECD的大小为，则解得1又因E是棱AB上的一点，所以0，故所求的值为1 10分23.（本小题满分10分）设数列an共有n（）项，且，对每个i (1i，iN)，均有（1）当时，写出满足条件的所有数列an（不必写出过程）； （2）当时，求满足条件的数列an的个数 【解】（1）当时，因为，即，所以或或故此时满足条件的数列an共有3个：； 1，1，1； 1，2，1 3分（2）令bi(1i7)，则对每个符合条件的数列an，满足条件：，且bi (1i7) 反之，由符合上述条件的7项数列bn可唯一确定一个符合条件的8项数列an7分记符合条件的数列bn的个数为N显然，bi (1i7)中有k个2；从而有k个，72k个1 当k给定时，bn的取法有种，易得k的可能值只有0，1，2，3，故因此，符合条件的数列an的个数为393 10分南通市2014届高三第一次调研测试数学讲评建议第1题 考查集合的运算，补集的概念.第2题 考查古典概率的计算. 法一：枚举法两参社团的总体情况是：(1,1)， (1,2)， (1,3) ，(1,4) ， (1,5)， (1,6) ， (1,7) ，(1,8) ，(2,1) ，(2,2) ，(2,3) ， (2,4) ， (2,5) ， (2,6) ， (2,7) ， (2,8) ，(3,1) ，(3,2) ，(3,3) ， (3,4) ， (3,5) ， (3,6) ， (3,7) ， (3,8)，(4,1) ，(4,2) ，(4,3) ， (4,4) ， (4,5) ， (4,6) ， (4,7) ， (4,8)，(5,1) ，(5,2) ，(5,3) ， (5,4) ， (5,5) ， (5,6) ， (5,7) ， (5,8)，(6,1) ，(6,2) ，(6,3) ， (6,4) ， (6,5) ， (6,6) ， (6,7) ， (6,8)，(7,1) ，(7,2) ，(7,3) ， (7,4) ， (7,5) ， (7,6) ， (7,7) ， (7,8)，(8,1) ，(8,2) ，(8,3) ， (8,4) ， (8,5) ， (8,6) ， (8,7) ， (8,8)由此可得：两人参加同一个社团的概率是：法二：两人各参加社团的各种情况有：8864，参加同一组的情况有C注：枚举法是解古典概率一种重要的方法，评讲时应重视第3题 考查复数的运算，模的概念解：第4题 考查统计中系统抽样的概念. 解：由题设可得，所抽到样本的号是28+16k，kZ，28+16k79，得k，所以k3故最大号码是：28+16376第5题 考查算法的概念，算法主要考查流程图与伪代码，复习时要求能看懂流程图与伪代码就行，不宜过难过深.解：a124648.第6题 考查对数函数的性质，定义域，不等式等知识解：由题意可知a1时， 易得(4，+)第7题 考查函数的奇偶性，函数的切线及简单高次不等式的解法法一：因为f(x)是奇函数，所以a=0，f(x)x3+bx设f(x)在点(x0，y0)处的切线为：，得，解之得b3第8题 考查直线与平面垂直的判定，充要条件第9题 本题考查直线与圆的方程，运算能力 解：A(1,1)，H(1,0)，所直线HB的方程是：y=x1， 联立，解之得：(，)，因为x0，B(，) kAB所以AB方程是：y1(x1)， 整理得：x+y10 第10题 考查向量的数量积，向量的坐标运算 解法一：以BC为x轴，D点为原点建立平面直角坐标系，则B(10,0)，C(10,0)，A(8cos，8sin)所以，(108 cos，8sin)(108 cos，8sin)64 cos2100+64 sin2=6410036解法二：以BC为x轴，D点为原点建立平面直角坐标系，则B(10,0)，C(10,0)，A(xA，yA)由AD8，则xA2+yA264又(10xA，yA )(10xA，yA)xA2 100+ yA2=6410036解法三：因为+，+，所以(+)(+)()(+)22=6410036解法四：由+2，得：，+(下同三)第11题 考查等差、等比数列的性质及运算能力. 解：144y2=225xz，y=，164x2z2=15xz(x+z)2由xz0，得=，+=第12题 考查三角函数的图象与性质，极值点的概念 解：所有极值点之和为：(+)+(+)+(+)+(+) 第13题 考查二次不等式的解法，分类讨论，数形结合等方法 解：显然x0，若x0，则mx10，而当m充分大时，3m 2( x + 1)m10，与题设矛盾而当x0时，要使(mx1)3m 2( x + 1)m10，对mR+恒成立则关于m的方程，mx10，与3m 2( x + 1)m1=0在(0，+)内有相同的根所以 3()2( x + 1)10，解之得：x=1， x=(舍去)第14题 考查基本不等式，二次函数的最值，放缩法. 法一：因为()2，所以a+b，所以， a+b+c+c()2 而当ab，c时，a+b+c所以(a+b+c)min 法二：令arcos，brsin(0r)，则a+b+crcos+ rsin+ crsin()+ ccrc()2第15题 考查向量的数量积，三角函数的恒等变形，两角和与差的三角函数，正弦定理，余弦定理考查学生代数恒等变形能力，基本计算能力本题第2小题还可以这样解： 解法一：由条件得：bccosA=9， accosB=16，.得：，由合分比定理得： 即 所以 解法二： 评注：高考中常以三角函数及向量为载体，考查学生的基本运算能力及应用数学知识的能力，属中档题这也是我们学生主要得分的部分，复习时要注意对高考中常见的三角函数及向量的问题进行归纳总结，弄清各个问题的来龙去脉，注意一些问题中恒等变形的技巧，一题多解