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复习课 二项式定理及应用 要点梳理1 二项式定理2 通项公式 1 3 2二项式定理 3 二项式系数的性质 1 对称性 2 增减性与最大值 当n是偶数时 中间的一项取得最大值 当n是奇数时 中间两项同时取得最大值 分别是和 3 二项式系数的和 2n 其中 高考二项式定理的三种题型 二项式定理 是高考主要内容之一 高考要求是 掌握二项式定理和二项展开式的性质 并能用它们计算和证明一些简单的问题 它在高考中总是以选择和填空的形式出现 分值为5分 出现的题型主要有三类 1 求二项展开式中指定项 如常数项 有理项 整式项 系数最大的项等 2 求某二项式系数 3 求系数和 解 1 通项公式为Tr 1 第6项为常数项 r 5时 有 0 即n 10 一 解答题1 已知在的展开式中 第6项为常数项 1 求n 2 求含x2项的系数 3 求展开式中所有的有理项 2 令 2 得r n 6 2 所求的系数为 Z 0 r 10 r Z 令 k k Z 则10 2r 3k 即r 5 k r Z k应为偶数 k可取2 0 2 即r可取2 5 8 第3项 第6项与第9项为有理项 它们分别为 3 根据通项公式 由题意得 题型一求展开式中的特定项或特定项的系数 例1 在二项式的展开式中 前三项的系数成等差数列 求展开式中的有理项和二项式系数最大的项 利用已知条件前三项的系数成等差数列求出n 再用通项公式求有理项 解 二项展开式的前三项的系数分别是1 n n 1 2 1 n n 1 解得n 8或n 1 不合题意 舍去 思维启迪 当4 k Z时 Tk 1为有理项 0 k 8且k Z k 0 4 8符合要求 故有理项有3项 分别是T1 x4 T5 x T9 x 2 n 8 展开式中共9项 中间一项即第5项的二项式系数最大且为T5 x 求二项展开式中的指定项 一般是利用通项公式进行 化简通项公式后 令字母的指数符合要求 求常数项时 指数为零 求有理项时 指数为整数等 解出项数k 1 代回通项公式即可 探究提高 解析因为 1 x 6的通项是Tr 1 xr 令r 5得T6 x5 令r 2得T3 x2 所以 1 x3 1 x 6展开式中x5的系数为 9 9 在 1 x3 1 x 6的展开式中 x5的系数为 题型二求展开式中各项系数之和 例1 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 解 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 1 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 1 a0 1 a1 a2 a3 a7 2 2 2 得a1 a3 a5 a7 1094 3 2 得a0 a2 a4 a6 1093 4 1 2x 7展开式中 a0 a2 a4 a6都大于零 而a1 a3 a5 a7都小于零 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 1093 1094 2187 探究提高本题采用的是 赋值法 它普遍适用于恒等式 是一种重要的方法 在解有关问题时 经常要用到这种方法 对形如 ax b n ax2 bx c m a b c R m n N 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 对 ax by n a b R n N 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式中各项系数之和为f 1 奇数项系数之和为a0 a2 a4 偶数项系数之和为a1 a3 a5 知能迁移2设 2 x 100 a0 a1x a2x2 a100 x100 求 1 a0 2 a1 a3 a5 a99 3 a0 a2 a4 a100 2 a1 a3 a99 2 4 a0 a1 a2 a100 解 1 方法一 由 2 x 100展开式中的常数项为 2100 得a0 2100 方法二 令x 0 则展开式可化为a0 2100 2 令x 1 得a0 a1 a2 a99 a100 2 100 令x 1 得a0 a1 a2 a3 a100 2 100 联立 得a1 a3 a99 3 原式 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a1 a2 a100 a0 a1 a2 a3 a98 a99 a100 2 100 2 100 1 4 展开式中 a0 a2 a4 a100大于零 而a1 a3 a99小于零 原式 a0 a1 a2 a3 a98 a99 a100 2 100 知能迁移1已知的展开式的二项式系数和比 3x 1 n的展开式的二项式系数和大992 求的展开式中 1 二项式系数最大的项 2 系数的绝对值最大的项 解由题意知 22n 2n 992 即 2n 32 2n 31 0 2n 32 解得n 5 1 由二项式系数的性质知 的展开式中第6项的二项式系数最大 即 252 2 设第r 1项的系数的绝对值最大 r Z r 3 故系数的绝对值最大的是第4项 T4 27 x4 15360 x4 2020 3 15 17 可编辑 方法与技巧1 通项公式最常用 是解题的基础 2 对三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点 转化为二项式来解决 转化的方法通常为集项 配方 因式分解 集项时要注意结合的合理性和简捷性 3 求常数项 有理项和系数最大的项时 要根据通项公式讨论对r的限制 求有理项时要注意到指数及项数的整数性 思想方法感悟提高 4 性质1是组合数公式的再现 性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性 性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和 5 因为二项式定理中的字母可取任意数或式 所以在解题时根据题意 给字母赋值 是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 6 二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数 项数 二项式系数等方面的内在联系 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题 只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析 对于与组合数有关的和的问题 赋值法是常用且重要的方法 同时注意二项式定理的逆用 失误与防范1 要把 二项式系数的和 与 各项系数和 奇 偶 数项系数和与奇 偶 次项系数和 严格地区别开来 2 根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化 学生易出错 3 通项公式是第r 1项而不是第r项 一 选择题1 2009 重庆理 3 x2 8的展开式中x4的系数是 A 16B 70C 560D 1120解析设二项式展开式的第r 1项含有x4 则Tr 1 x2 8 r r 16 2r r 4 r 4 x4的系数为 24 1120 D 定时检测 基础自测1 二项式 a 2b n展开式中的第二项的系数是8 则它的第三项的二项式系数为 A 24B 18C 16D 6解析T2 所以2n 8 n 4 所以 6 D 2 在的展开式中 x的幂的指数是整数的项共有 A 3项B 4项C 5项D 6项解析Tr 1 故当r 0 6 12 18 24时 幂指数为整数 共5项 C 3 在的展开式中 只有第5项的二项式系数最大 则展开式中常数项是 A 7B 7C 28D 28解析只有第5项的二项式系数最大 则展开式共9项 即n 8 当r 6时为常数项 T7 7 B 解析 Tk 1 为常数项 k 4且 a 4 1120 a4 16 a 2 当a 2时 令x 1 得各项系数和为 1 8 1 当a 2时 令x 1 得各项系数和为 1 8 38 答案C 5 已知展开式中常数项为1120 其中实数a为常数 则展开式中各项系数的和为 A 28B 38C 1或38D 1或28 二 填空题7 已知n为正偶数 且 x2 n的展开式中第4项的二项式系数最大 则第4项的系数是 用数字作答 解析n为正偶数 且第4项二项式系数最大 故展开式共7项 n 6 第4项系数为 9 2009 全国 理 13 x y 10的展开式中 x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 解析 x y 10的展开式中含x7y3的项为x10 3y3 1 3 x7y3 含x3y7的项为x10 7y7 1 7 由 120知 x7y3与x3y7的系数之和为 240 240 4 在的展开式中 常数项为15 则n的一个值可以是 A 3B 4C 5D 6解析通项Tr 1 常数项是15 则2n 3r 且 15 验