2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算讲义新人教A版选修2.doc

3.1.3空间向量的数量积运算1空间向量的夹角如果a，b，那么向量a，b互相垂直，记作ab.2空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作 ab运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律a(bc)abac两个向量数量积的性质：(1)若a，b是非零向量，则abab0；(2)若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|；特别地：aa|a|2或|a|；(3)若为a，b的夹角，则cos；(4)|ab|a|b|. 1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于空间任意两个非零向量a，b，ab是a，b0的充要条件()(2)若a2b2，则ab或ab.()(3)若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的充要条件()(4)在ABC中，B.()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)(教材改编P92T3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是a，点E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，则a2等于()A2 B2C2 D2(2)若向量a与b满足|a|1，|b|2且a与b的夹角为，则ab_.(3)已知|a|，|b|，ab，则a与b的夹角为_(4)已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_.答案(1)B(2)1(3)135(4)解析(1)与的夹角为60，|a，22|cos602aaa2.探究1求向量的数量积例1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)；(2)；(3)；(4).解(1)|cos，11cos60.(2)|cos，11cos0.(3)|cos，11cos120.(4)()()()()().拓展提升1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算2在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入ab|a|b|cosa，b求解【跟踪训练1】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA11，AD2，O为AC与BD的交点，E为A1D1的中点，求下列向量的数量积：(1)；(2)；(3).解设a，b，c，则|a|c|1，|b|2，(1)ba，(ba)cbcac.又a，b，c两两互相垂直，bc0，ac0，故0.(2)cb，又ab，(ab)|b|22.(3)()()(ab)ac，又ab，(ab)a2.探究2利用数量积求夹角例2已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值解如下图，设a，b，c，且|a|b|c|1，易知AOBBOCAOC，则abbcca.因为()(ab)，cb，|，所以(ab)acbcabb2，所以cos，.所以异面直线OE与BF所成角的余弦值是.拓展提升由数量积求角的方法策略(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角的大小，通过解三角形得出夹角的大小，此法就是求两个向量夹角的平移法(2)由两个向量的数量积的定义得cosa，b，求a，b的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出a，b的余弦值，进而求出a，b的大小在求ab时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出ab的值(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角，则这个夹角就是两异面直线所成的角或补角(注意异面直线所成角的范围)【跟踪训练2】三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_答案解析下图所示，设该三棱柱的底面边长为1，依题意有，则|2()222222cos603，|2()22222222，而()()111，所以cos，.所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.探究3利用向量数量积求距离例3已知线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB，且与所成的角是30，如果ABa，ACBDb，求C，D间的距离解下图，由AC，知ACAB.过点D作DD于点D，连接BD，则DBD30，120，所以|2()2|2|2|2222b2a2b22b2cos120a2b2，故CD.拓展提升(1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)(2)应牢记并能熟练地应用公式|abc|.【跟踪训练3】在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|2|AM|，|CN|ND|，求|MN|.解如下图所示，|a，把题中所用到的量都用向量，表示，于是()().又aacos60a2， 2 2 2a2a2a2a2a2.故|a，即|MN|a.探究4判断或证明垂直问题例4下图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G平面DEF.证明设正方体的棱长为a，()()a2a20，A1GDF，同理可证A1GDE，又DFDED，A1G平面DEF.拓展提升利用向量数量积判断或证明线面垂直的思路(1)由数量积的性质abab0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可【跟踪训练4】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.证明：PABD.证明由底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD知，DABD，则0.由PD底面ABCD知，PDBD，则0.又，()0，即PABD.1.空间向量数量积性质的应用(1)abab0，此结论可用于证明空间中的垂直关系.(2)|a|2a2，此结论可用于求空间中线段的长度.(3)cosa，b，此结论可用于求有关空间角的问题.(4)|b|cosa，b，此结论可用于求空间中的距离问题.2.利用向量数量积求夹角问题的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围.(2)先求ab，再利用公式cosa，b求cosa，b，最后确定a，b.3.求两点间的距离或线段长的方法(1)将此线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模.(2)因为aa|a|2，所以|a|，这是利用向量解决距离问题的基本公式另外，该公式还可以推广为|ab|.(3)可用|ae|a|cos|(e为单位向量，为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影.1下列各命题中，不正确命题的个数为()|a|；m(a)b(m)ab；a(bc)(bc)a；a2bb2a.A4个 B3个 C2个 D1个答案D解析aa|a|2，|a|，故正确；m(a)b(ma)bmab(m)ab，故正确；a(bc)abac，(bc)abacaabaca(bc)，故正确；a2b|a|2b，b2a|b|2a，故不一定正确2已知|a|1，|b|，且ab与a垂直，则a与b的夹角为()A60 B30 C135 D45答案D解析ab与a垂直，(ab)a0，aaab|a|2|a|b|cosa，b11cosa，b0，cosa，b.0a，b180，a，b45.3已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线AC1的长为()A6 B. C3 D.答案B解析如图，由题意可知，2()22222221112(cos60cos60cos60)6，|，即AC1的长为.4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ADAA11，AB2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为_，_.答案601解析解法一：连接A1D，则PA1D就是与所成的角，连接PD，在PA1D中，易得PA1DA1PD，即PA1D为等边三角形，从而PA1D60，即与所成角的