2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学（文）试题（pdf版含解析）

2 019 2020学年高中毕业班第一次综合质量检查 文文 科科 数数 学学 满满分分 150 分分考考试试时时间间 120 分分钟钟 出题意图 总体指导思想是由于是第一次综合质量检测 以考查基础知识和基础能力为主 考通性 通法 设置的题目兼顾到二类校学生的情况 容易和较容易题比例大 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 2 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 3 全部答案答在答题卡上 答在本试卷上无效 4 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 一一 选选择择题题 本本大大题题共共 12 小小题题 每每小小题题 5 分分 在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中 只只 有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的 1 已知集合 1 2 Ax xBx x 则 R BA A 12 xxB 12 xxC 12 xxD 12 xx 解析 1 RA x x 21 R BAxx 故选 B 考查意图 本题以集合为载体 考查补集与交集等知识 考查运算求解能力 考查数学运 算核心素养 2 若复数 i i a 1 z为纯虚数 则实数a的值为 A 2B 1C 1 D 2 解析 i ii 1 2 1 2 1 2 1aaa a z i i 由已知01 a且 01 a 解得1 a 故选 B 考查意图 本题以复数为载体 考查复数的概念和复数的除法运算等知识 考查运算求解 能力 考查数学运算核心素养 3 已知 1 ln2 a 1 ln 2 b 1 2 ec 其中e为自然对数的底数 则 A cab B acb C bca D cba 解析 1 1 ln2 a 1 ln0 2 b 1 2 0e1c 可得 bca 故选 B 考查意图 本题以对数 指数为为载体 考查对数 指数的运算及比较大小等知识 考查 运算求解能力 考查数学运算核心素养 4 已知平面向量a 与b 满足 3 1 a 4b 且 2 aba 则ab A 2B 3C 4D 5 解析 由 22 1 3 2a 又 2 aba 得 2 2 2220abaaa ba b 1a b 222 22244abaa bb 故选 C 考查意图 本题以平面向量为载体 考查平面向量的坐标运算 模及数量积运算等知识 考查运算求解能力 考查数学运算核心素养 5 一个盒子中装有 4 个大小 形状完全相同的小球 其中 1 个白球 2 个红球 1 个黄球 若从中随机取出 1 个球 记下颜色后放回盒子 均匀搅拌后 再随机取出 1 个球 则两次取 出小球颜色不同的概率是 A 5 8 B 1 8 C 5 6 D 1 6 解析 基本事件为共 16 个 两次取出小球颜色相同的事件有 6 个 所以 两次取出小球 颜色相同的概率是 63 168 两次取出小球颜色不同的概率是 35 1 88 故选 A 考查意图 本题以古典概型为载体 考查用列举法求基本事件的总数 对立事件概率等知 识 考查运算求解能力 逻辑推理能力 考查直观想象 逻辑推理 数学运算核心素养 6 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x E过点P 2 3 2 2 椭圆E的离心率为 2 2 则椭圆E的焦距为 A 1B 2C 2D 22 解析 由已知得 a c 2 2 1 4 3 2 1 22 ba 又 222 c b a 联立解得12 c a b 1 因此焦距为 2 故选 B 考查意图 本题以椭圆为载体 考查椭圆及其几何性质等知识 考查运算求解能力 逻辑 推理能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 函数与方程思想 考查直观想象 逻辑推 理 数学运算核心素养 7 已知函数 3sin2cos2f xxx 把函数 f x的图象沿 x 轴向左平移 6 个单位 得到 函数 g x的图象 下列关于函数 g x的说法正确的是 A 在 2 上是减函数B 在区间 2 63 上的值域为 1 1 C 函数 g x是奇函数D 其图象关于直线 2 x 对称 解析 2sin 2 6 f xx 2sin 2 2sin 22cos2 662 g xxxx g x是偶函数 在 2 上不单调 在区间 2 63 上的值域为 2 1 其图像关于直线 2 x 对称 故选D 考查意图 本题以三角函数为载体 考查三角函数图象变换与性质等知识 考查运算求解 能力 逻辑推理能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 考查直观想象 逻辑推理 数 学运算核心素养 8 宋元时期数学名著 算学启蒙 中有关于 松竹并生 的问题 松长六尺 竹长两尺 松日自半 竹日自倍 何日竹逾松长 右图是解决此问题的一个程序框图 其中a为松长 b为竹长 则输出的n A 5B 3C 4D 2 解析 n 1 时 a 9 b 4 n 2 时 a 13 5 b 8 n 3 时 a 20 25 b 16 n 4 时 a 30 375 b 32 此时输出 n 4 故选C 考查意图 利用程序框图的顺序结构 循环结构 结合实际问题的 已知条件求出输出的 n 的值 考查程序框图的三种基本逻辑结构及应 用 考查学生的文化素养和计算能力 9 函数 2 xx xx xf cos sin 在 上的图像大致为 A B C D 解析 xf为奇函数 排除 B C 当 x0时 0 xf 排除 D 故选 A 考查意图 本题以函数的大致图像为载体 主要考查从函数的奇偶性判断图像的对称性和 从函数取值判断图像的变化趋势等知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查数形结合 思想 考查逻辑推理 直观想象核心素养 10 给出下列四个命题 0 xN 使得 0 sin1 2 x 0a 是 2 10axax 恒成立的充分条件 函数 ln x f x x 在点 1 e e 处不存在切线 函数 2 9lnf xxx 存在零点 其中正确命题个数是 A 1B 2C 3D 4 解析 0 1x sin1 2 正确 2 10axax 恒成立 需0a 或 2 0 40 a aa 解 得 40a 错误 函数 ln x f x x 在点 1 e e 处切线方程为 1 e y 错误 函数 2 9lnf xxx 1 10f 3 9ln390f 1 3 0ff 所以 f x在 1 3存在零点 正确 故选 B 考查意图 本题以充分条件 简易逻辑 函数导数的应用等知识为载体 主要考查不等式 恒成立 函数导数的几何意义 函数零点的判断等知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查数形结合思想 考查逻辑推理 直观想象核心素养 11 在ABC 中 0 120ABC D是线段AC上的点 0 30DBC 若ABC 的面积为 2 3 则BD的最大值是 A 2B 3C 5D 6 解析 由 1 2 3sin120 2 ac 得8ac 因为 ABCABDBCD SSS 即 11 2 3sin90sin30 22 BDcBDa 得 8 38 3 3 28 BD ac 当且仅当2ac 时 即4 2ac 时 BD取到最大值是3 故选 B 设计意图 本题以三角形为载体 考查学生运用三角形面积公式的综合能力 并能运用基 本不等式求最值 考查运算求解能力 逻辑推理能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 考查直观想象 逻辑推理 数学抽象核心素养 12 已知定义在R上的连续函数 f x满足 4 f xfx 且 2 0f fx 为函数 f x的导函数 当2x 时 有 0f xfx 则不等式 0 x f x 的解集为 A 0 6 B 2 0 C 2 D 2 0 6 解析 构造函数 2 x g xe f xx 则 0 xxx g xe f xe fxef xfx g x 在 2 单调递增 2 2 2 0gef 当 2 x 时 0g x 当 2 2 x 时 0g x 又0 x e 当 2 x 时 0f x 当 2 2 x 时 0f x 又 f x满足 4 f xfx f x图象关于直线2x 对称 当 2 6 x 时 0f x 当 2 6 x 时 0f x 不等式 0 x f x 可化为 0 0 x f x 或 0 0 x f x 可解得 2 0 6 x 故选 D 考查意图 本题以函数性质 导数的应用等知识为载体 主要考查函数的对称性 函数导 数应用于判断函数单调性 解不等式等知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查数形 结合思想 考查逻辑推理 直观想象核心素养 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分分 13 已知 2 cos 44 则sin2 解析 由sin2cos 2 cos 2 24 22 23 2cos12 1 444 考查意图 本题以三角恒等变换公式为载体 考查学生运用角的变换的综合能力 考查运 算求解能力 逻辑推理能力 考查化归与转化思想 考查直观想象 逻辑推理 数学运算核 心素养 14 已知数列 n a是公差为2 的等差数列 若 2 1a 5 1a 6 1a 成等比数列 则 8 a 解析 2 526 1 11aaa 即 2 111 41 151adadad 得 1 10a 又2d 8 4a 考查意图 本题以等差数列 等比数列为载体 考查学生运算求解能力 逻辑推理能力 考查化归与转化思想 考查直观想象 逻辑推理 数学运算核心素养 15 已知直三棱柱 111 ABC A BC的高为2 3 3BC 0 120BAC 则该三棱柱外接球 的表面积为 解 底面外接圆半径为1 2sin BC r A 外接球的半径 222 1 1 134 2 RrAA 外接球 的表面积为 2 416R 考查意图 考查余弦定理 正弦定理的应用 考查柱体体积 球的表面积计算公式 考查 三棱柱与其外接球的结构关系 考查学生的计算能力 空间想象能力 16 已知点 12 F F分别为双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C的左 右焦点 A为直线 ax 3 4 与双曲线C的一个交点 若点A在以 12 FF为直径的圆上 则双曲线C的离心率为 解 设 4 3 a Ay 代入1 2 2 2 2 b y a x 化简得 22 9 7 by 由已知得AFAF 21 由向量知 识得 2 9 7 3 4 3 4 bcaca 又 222 cba 整理得 2 7 2 2 a b 则C的离心率 2 23 2 7 1 e 考查意图 本题以双曲线为载体 主要考查直线 双曲线及其几何性质等知识 考查运算 求解能力 推理论证能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 函数与方程思想 考查逻 辑推理 直观想象 数学运算核心素养 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 国家大力提倡科技创新 某工厂为提升甲产品的市场竞争力 对生产技术进行创新改造 使 甲产品的生产节能降耗 以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x 吨 与相应的生产 能耗y 吨 的几组对照数据 x 吨 4567 y 吨 2 5344 5 1 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程axby 2 1 2 1 xbya xnx yxnyx b n i i n i ii 2 已知该厂技术改造前生产 8 吨甲产品的生产能耗为 7 吨 试根据 1 求出的线性回归 方程 预测节能降耗后生产 8 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨 17 本小题满分 12 分 解析 1 5 3 4 5 4435 2 5 5 4 7654 yx 2 分 5 805 4746355 24 4 1 i iiy x 4 分 1267654 2222 4 1 2 i i x 5 分 7 0 5 54126 5 35 545 80 4 4 2 2 4 1 2 4 1 xx yxyx b i i i ii 7 分 35 05 57 05 3 xbya 8 分 35 07 0 xy所求的回归方程为 9 分 2 把8 x代入回归方程可预测相应的生产能耗是 吨25 535 087 0 y 10 分 7 5 25 1 75 吨 11 分 所以 预测生产 8 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低 1 75 吨 12 分 考查意图 本题以统计为载体 主要考查线性回归方程等知识 考查运算求解能力 推理 论证能力 考查逻辑推理 直观想象 数学运算 数据分析核心素养 18 本小题满分 12 分 已知等比数列 n a的前n项和为 n S 且21 n n SaaR nN 1 求数列 n a的通项公式 2 设 1 1 n n nn a b S S 求数列 b n 的前n项和 n T 18 本小题满分 12 分 解析 1 方法一 当1n 时 11 21aSa 1 分 当2n 时 1 1 2n nnn aSSa 3 分 因为 n a是等比数列 所以 1 21aa 满足 式 所以21aa 即1a 5 分 因此等比数列 n a的首项为 1 公比为 2 所以等比数列 n a的通项公式是 1 2n n a 6 分 方法二 当1n 时 11 21aSa 1 分 当2n 时 1 1 2n nnn aSSa 3 分 于是 23 2 4aa aa 由已知得 2 213 aa a 解得10 aa 或舍去 5 分 因此等比数列 n a的首项为 1 公比为 2 于是等比数列 n a的通项公式是 1 2n n a 6 分 2 由 1 知21 n n S 8 分 则 1 1 n n nn a b S S 即 1 1 211 21212121 n n nn nn b 10 分 所以 12 1 1111111 1 3377152121 nn nn Tbbb 所以 1 1 1 21 n n T 12 分 方法二 11 1 11 11 nnn n nnnnnn ass b S Ss sss 8 分 于是 12 122334111 1111111111 nn nnn Tbbb ssssssssss 10 分 由 1 知21 n n S 于是 1 1 1 21 n n T 12 分 考查意图 本题以等比数列为载体 考查学生求数列通项公式的方法 数列前 项和的方 法 考查学生运算求解能力 逻辑推理能力 考查化归与转化思想 考查直观想象 逻辑推 理 数学运算核心素养 19 本小题满分 12 分 如图 在几何体 ABC A1B1C1中 四边形 ABB1A1为矩形 AA1 CC1 且 AA1 2CC1 E 为 AB1的中点 1 求证 CE 平面 A1B1C1 2 若平面 ABB1A1 平面 ABC AB BC AB BC CC1 2 求三棱锥 E ACC1的体积 19 解析 本小题满分 12 分 1 证明如图 取 A1B1中点 F 连接 EF FC1 E 为 AB1中点 EF A1A 且 EF 1 2A 1A 2 分 AA1 CC1且 AA1 2CC1 EF CC1且 EF CC1 即四边形 EFC1C 为平行四边形 CE C1F 4 分 111 CEABC 平面 1111 C FABC 平面 CE 平面 A1B1C1 6 分 2 平面 AB B1A1 平面 ABC 交线为 AB 又矩形 AB B1A1中 A A1 AB AA1 平面 ABC 8 分 AA1 CC1 CC1 平面 ABC 9 分 BB1 CC1 111 BBCAC 平面 111 CCCAC 平面 BB1 11C AC平面 10 分 11111 111 222 EACCBACCB ACCCABC VVVV 11 分 1112 222 2323 12 分 考查意图 考查直线与平面平行 垂直的位置关系 考查平面与平面垂直的性质 锥体体 积计算公式 考查学生的空间想象能力 逻辑推理能力 计算能力 考查化 归转化的数学思想 20 本小题满分 12 分 已知抛物线 Cxy4 2 抛物线C的准线为l 焦点为F A点位于第一象限内且在抛物 线C上运动 直线AO O为坐标原点 交l于B点 直线BF交抛物线C于ED 两点 M为线段DE中点 1 若AF 5 求直线FB的方程 2 试问直线AM的斜率是否为定值 若是 求出该值 若不是 说明理由 20 解析 本小题满分 12 分 1 抛物线 Cxy4 2 的准线为1x 焦点为F 1 0 2 分 由AF 5 及抛物线定义得A点横坐标为 4 3 分 由A点位于第一象限内且在抛物线 Cxy4 2 上得A点坐标为 4 4 4 分 于是 OA k 1 则直线OA的方程为xy 与准线1x 联立解得 B 1 1 5 分 因此 BF k 2 1 所以直线FB的方程为 2 1 2 1 x y 即210 xy 6 分 说明 若通过几何法或其它方法得出 BF k 2 1 OA k 2 1 然后再求直线方程也一样给分 2 由已知直线OA的斜率存在 设直线OA的方程为ykx 与准线1x 联立解得B k 1 于是 2 k kBF 7 分 由已知0k 故设直线FB的方程为1 2 y k x 与xy4 2 联立并消去x得 04 8 2 k yy 8 分 由于 2 64 160 k 设 1122 D x yE xy 则 k 8 21 yy 则 212 16 2xx k 9 分 由于M为线段DE中点 于是M点坐标为 2 84 1 kk 10 分 直线OA的方程 0 kkxy 与xy4 2 联立解得A kk 4 4 2 11 分 所以直线AM的斜率为 0 综上可知直线AM的斜率为定值 0 12 分 考查意图 本题以直线 抛物线为载体 考查直线 抛物线及其几何性质 直线与抛物线 位置关系等知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 函数与方程思想 考查直观想象 逻辑推理 数学运算核心素养 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln a f xx x 其中aR 1 试讨论函数 xf的单调性 2 若1a 试证明 ecos x x f x x 20 本小题满分 12 分 解析 1 由 22 1 axa fx xxx 0 x 知 1 分 i 若0a 2 0 0 xa fxx x xf在区间 0 上为增函数 2 分 ii 若0a 当 x 0 a时 有 0fx xf在区间 0 a上为减函数 当 x a 时 有 0fx xf在区间 a 上为增函数 4 分 综上 当0a 时 xf在区间 0 上为增函数 当0a 时 xf在区间 0 a上为减函数 xf在区间 a 上为增函数 5 分 2 若1a 则 1 ln 0 f xxx x 要证 ecos x x f x x 只需证ln1 ecos x xxx 即证 ln ecos1 x xxx i 当01x 时 ln0 xx 而ecos1 1cos1 1cos10 x x 此时 ln ecos1 x xxx 6 分 ii 当1x 时 令 ecosln1 x g xxxx 0 x 7 分 esinln1 x g xxx 8 分 设 esinln1 x h xg xxx 则 1 ecos x h xx x 1x 1 ecose1 10 x h xx x 9 分 当1x 时 h x单调递增 1 esin1 10h xh 即 0g x g x在 1 单调递增 1 ecos1 10g xg 10 分 即 ecosln10 x g xxxx ln ecos1 x xxx ecos x x f x x 11 分 综上 当0 x 时 有 ecos x x f x x 12 分 考查意图 本题以函数导数的应用知识为载体 主要考查函数导数应用于判断函数单调性 证明不等式等知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查分类讨论思想 构造新函数思 想方法 考查逻辑推理核心素养 请考生在第 22 23 二题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做 第一个题目计分 做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中 以原点O为极点 以x轴正半轴为极轴 建立极坐标系 直线l 的极坐标方程为 2 cos 1 4 曲线C的参数方程为 2 cossin cossin x y 为 参数 BA 为直线l上距离为 2 的两动点 点P为曲线C上的动点且不在直线l上 1 求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程 2 求PAB 面积的最大值 解析 法一 直线l的极坐标方程1 4 cos2 化成1sincos sin cos yx 直线l的直角坐标方程为01 yx 2 分 曲线C的参数方程化成 为参数 sincos sincos 2 y x 平方相加得2 4 2 2 y x 即1 28 22 yx 5 分 2 设点P sincos sin2cos2 则P到直线l的距离为 2 1sincos3 d 2 1 sin 10 8 分 max 2 5 2 d 9 分 设PAB 的面积为S 则 2 2 5 2 1 max ABS 2 2 5 10 分 法二 也可设点P sin2 cos22 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 2 t