2009卓越自主招生数学试题.pdf

华南理工大学华南理工大学 20092009 年年保送生 自主招生选拔试题保送生 自主招生选拔试题 理科数学 试题 理科数学 试题 A A 一 选择题 1 已知复数 00 zxi 且 2 0 xi 的幅角主值是 2 则满足 0 22zz 的z的幅角主值 的取值范围是 A 5 1212 B 63 C 37 1212 D 59 1212 2 0b 是函数 2 f xxbxc 在 0 单调的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已知 a bR 22 26ab 则ab 的最小值为 A 2 2 B 5 3 3 C 3 D 7 2 4 在 221 111 nnn n xxxxx 的展开式中 n x的系数为 A 21 1 n n n B 2n 1 n n C 2n 2 n n D 22 1 n n n 5 已知圆 222 O xyr 点 0P a bab 是圆O内一点 过点P的圆O的最短的弦在 直线 1 l上 直线 2 l的方程为 2 bxayr 那么 A 12 ll 且 2 l与圆O相交 B 12 ll 且 2 l与圆O相切 C 12 ll 且 2 l与圆O相离 D 12 ll 且 2 l与圆O相离 6 已知0 2 x 函数 2 2 5sin coscos1f xxxx 的值域为 A 3 1 B 3 2 C 1 3 D 2 3 7 在三角形ABC中 向量 38 4aABACbABACBCcCBBA 则下列 结论一定成立的是 A 向量ac 一定与向量b平行 B 向量bc 一定与向量a平行 C 向量ab 一定与向量c平行 D 向量ab 一定与向量c平行 8 已知c是椭圆 22 22 10 xy ab ab 的半焦距 则 2 2 bc a 的取值范围是 A 1 2 B 1 1 2 C 1 2 2 D 15 22 二 填空题 9 已知 ABCD是某球面上不共面的四点 且2ABBCAD 2BDAC BCAD 则此球的表面积等于 10 已知双曲线 0 01 2 2 2 2 ba b y a x 右焦点为F 右准线l与两条渐近线分别交于 QP 两点 若PQF 是直角三角形 则双曲线的离心率 e 11 已知函数 f x是定义在 0 上的增函数 且满足 31f 0 0f xyf xf yxy 则不等式 33f xf x 的解集 为 12 已知 22 1 0 2660 x xy xyxy 则2xy 的最大值为 13 甲 乙两人下围棋 下三盘棋 甲平均能赢二盘 某日 甲 乙进行五打三胜制比赛 那 么甲胜出的概率为 三 设三角形ABC三个顶点的坐标分别为 2 1 1 2AB 3 1C DE 分别 为 ABBC上的点 M是DE上一点 且 BEADDM BCABDE 1 求点M的横坐标的取值范围 2 求点M的轨迹方程 四 已知函数 f x是定义在 4 的单调增函数 要使得对于一切 的实数x不等式 22 cossin3fxbfxb 恒成立 求实数b的取值范围 五 如图 在正三棱锥PABC 中 侧棱长为3 底面边长为2 E为BC的中点 EFPA 于F 1 求证 EF为异面直线PA与BC的公垂线 2 求异面直线PA与BC的距离 3 求点B到面APC的距离 六 已知 22 10 10 aabbab 设 12 1 aab 11 02 nnn aaan 1nnn baa a 1 证明数列 n b是等比数列 2 求数列 n a的通项 3 设 12 1cc 21nnn ccc 证明 当3n 时有 1 2 1 n n nn cac bb A B P C E F 答案 1 A