2012年全国高中数学图形计算器应用能力测试试题及参考.pdf

本试卷分为填空题和解答题两部分 试卷满分 150 分 考试 时间 120 分钟 试题解答过程中可以使用卡西欧 fx 9750 系列 fx 9860 系列 fx CG 系列和 ClassPad 系列图形计算器 一 填空题 本大题共 12 小题 每小题 7 分 满分 84 分 把答案填在题中横线上 1 已知 a sin 516 b tan 522 c cos 527 把它们 按从小到大的顺序用 2x姨的解集为 精确到 0 001 5 已知数列 an 的通项公式为 an 40n 2 012 n2 n N an 取得最小值时 n 的值为 6 已知关于 x 的方程为 lg ax 1 sin x a N 且 a m 若函数 g x f x x 恰有三个零点 则实数 m 的取值范围是 8 已知双曲线 x2 3y2 1 当 20 y 100 时 该双曲线 上整数点的坐标为 9 已知关于 x 的实系数方程 x2 ax 2b 0 的一个根在 0和 1 之间 另一个根在 1 和 2 之间 则 b 2 a 1 的取值范围是 10 某人从银行贷款 12 万元 计划 4 年还清 还款方式为 等额本息 即每月偿还的本金和利息之和相同 若年利率为6 9 按月复利 那么在第 10 期还款中 应还利息为 精 确到 1 元 11 利用式子 2 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 的前 200 项之积 估算圆周率 的值为 精确到 0 001 12 设函数 f x asin 2x cos 2x 其中 a R a 0 若 f x f 6 对一切 x R 恒成立 则 f 12 0 f x 的单调递增区间是k 3 k 6 k Z f x 是偶函数 存在经过点 a 1 的直线与函数 f x 的图象不相交 以上结论正确的是 写出所有正确结论的 编号 二 解答题 本大题共 4 小题 满分 66 分 解答应写出必 要的文字说明 演算步骤或证明过程 13 本小题满分 15 分 在学校里 有的老师经常对学生这 样说 如果你的数学成绩好 那么你的物理成绩也不会差 一 同学随机抽取班里 10 名学生 并记录下他们期中考试的数学和 物理成绩 满分均为 100 分 如下表所示 表 2 序号12345678910 数学 x88657466636876897172 物理 y78627164616867917371 1 建立一个 y 与 x 的线性回归模型 并用该模型预测此班 某同学数学成绩为 80 分时他的物理成绩 2 建立一个y与x的非线性回归模型 使 r2尽可能接近于 1 并用该模型预测此班某同学数学成绩为 80 分时他的物理成绩 3 上述两个模型哪个更可靠 请说明理由 14 本小题满分 15 分 已知函数 f x ln ex a a 为常 数 是 R 上的奇函数 1 求 a 的值 2 若函数 g x sin x f x 求函数 g x 在 1 1 上的 最大值 3 若关于 x 的方程 ln x f x x2 2ex m 有实数根 求 m 的 取值范围 精确到 0 01 2012年全国高中数学图形计算器应用能力测试 试题及参考答案 Journal of Chinese Mathematics Education 2012 年第 9 期 No 92012 42 15 本小题满分 18 分 如图 1 一个观光览车转轮的半径为 8 m 每 12 分钟旋转一周 转轮上最低点与地 面距离为 2 m 观光览车启动后按逆时 针方向匀速旋转 图中 OP 为初始位 置 其中 O 为转轮圆心 P 为转轮上 一点 OP 平行于地面 1 求点 P 离地面的距离 h 单位 m 与旋转时间 t 单 位 分钟 的函数解析式 2 经过 15 5 分钟后 求点 P 走过的路程 精确到 0 1 m 3 求在每一周内点 P 高于地面 15 米时的旋转时间 精确 到 0 1 分钟 16 本小题满分 18 分 已知数列 an 满足 a1 2 an 1 an 2n n N 1 当 a2 1 时 求 及 a3 a7的值 2 若数列 an 为等比数列 数列 bn 满足 bn log2an 记 Sn a1 a2 an Tn b1 b2 bn Rn 8Tn Sn 2 求使 Rn 1 12 n N 成立的 n 的取值范围 并说明理由 3 若 1 且数列 cn 满足 cn 1 an an 1 1 an 1姨 求 证 0 c1 c2 cn 2姨 附 参考答案 使用 CG20 图形计算器 一 填空题 1 c a b 提示 利用 计算 矩阵 功能模块分别进行计算 注意角 的单位应设置为度 图 2 非图形计算器环境 同一平面直角坐标系中 利用诱导公 式结合函数图象 比较大小 2 0 提示 利用 解方程 组 功能模块 输入各方程的系 数 求解即得 1 2 图 3 3 非图形计算器环境 利用消元法直接解方程 3 甲 提示 利用 统计 功能模块 分两列输入数据 进行双 变量或单变量统计 比较两种水稻的标准差可得 1 2 3 图 4 非图形计算器环境 纸笔运算 先计算平均数 然后计算 方差进行比较可得 4 x 0 x 1 866 提示 利用 图形 功能模块 作出函数 y 2x 1 y 2x姨的图象 利用图形分析功能求出两个函数图象的交点并显 示其坐标 数形结合可得到不等式的解集 2 3 1 图 5 非图形计算器环境 两边直接平方 代数变形 利用一元 二次不等式求解 2x 1 2x姨圳 x 0 2x 1 2 4 x 圳0 x 1 3姨 2 图 1 O P 8 m 2 m 试题荟萃 SHITIHUICUI Journal of Chinese Mathematics Education 2012 年第 9 期 No 92012 43 5 5 提示 利用 图形 模块功能作出函数 y 40 x 2 012 x2 的 图象 对图象进行分析 可得当 x 4 65 时 y 取得最小值 由 于 x N 因此分别计算 x 4 x 5 时的函数值 通过比较可 得当 x 5 时 取得最小值 1 2 3 图 6 4 5 6 非图形计算器环境 运用导数方法 同时结合函数图象求 解 或利用均值不等式求解 6 6 提示 利用 动态图 功能模块 作出函数 y lg ax 1 和函数 y sin x 的图象 调整参数 a 的值 观察交点个数即得 3 图 7 4 5 6 1 2 非图形计算器环境 对实数 a 赋值 运用函数图象 观察 推理 判断 7 1 2 提示 由已知 g x x3 3x 2 x m 2 x x m 画出图象 求出 与 x 轴的交点 分析图象可得 图 8 非图形计算器环境 纸笔画图 由二次函数 一次函数的 图象性质 观察 推理并判断 8 97 56 或 97 56 提示 设 x y y x 则 y 1 3x 2姨 利用 表格 功能模块 设定如图 从列表中搜索即可 也可利用 递归 数 列 功能中的表格 1 2 3 图 9 非图形计算器环境 代数变形 直接尝试 x 1 3y2姨 20 y 100 9 1 4 姨姨 1 提示 令 f x x2 ax 2b 由已知有 f 0 0 f 1 0 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 得到约束条件 b 0 1 a 2b 0 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 作出可行域为三角形的内部 用图形分析功能求出三角形 三顶点的坐标 A 3 1 B 2 0 C 1 0 因为过三角形内的点 a b 和点 D 1 2 的直线的斜率 k b 2 a 1 所以 1 4 kAD b 2 a 1 2 时 Rn 1 1 12 R12 39 512 1 所以 an 1 an 1 an 2n 0 所以 an 1 an n N cn 1 an an 1 姨姨 1 an 1姨 0 c1 c2 cn 0 又 cn 1 an an 1 姨姨 1 an 1姨 an an 1姨 1 an 1 an 1 姨姨 an an 1姨 1 an姨 1 an