2014北约自主招生数学试题及解答.pdf

2014 年 北约自主招生 数学试题 1 2014 年北约自主招生数学试题 1 圆心角为60 的扇形面积为6 求它围成的圆锥的表面积 2 将 10 个人分成 3 组 一组 4 人 两组各 3 人 有多少种分法 3 如果 2 lg 2 f xxaxa 的值域为R 求a的取值范围 4 设 2 2 33 abf af b f 且 1 1 4 7ff 求 2014 f 5 已知1xy 且 x y都是负数 求 1 xy xy 的最值 6 已知 22 arctan 14 x f xc x 在 1 1 4 4 上是奇函数 求c 2014 年 北约自主招生 数学试题 2 7 证明tan3 是无理数 8 已知实系数二次函数 f x与 g x满足3 0f xg x 和 0f xg x 都有双重实根 如果已知 0f x 有两个不同的实根 求证 0g x 没有实根 9 1213 a aa 是等差数列 113 ijk Maaaijk 问 7 16 0 2 3 是否可以同时在 M中 并证明你的结论 10 已知 12 n x xxR 且 12 1 n x xx 求证 12 2 2 2 21 n n xxx 2014 年 北约自主招生 数学试题 3 2014 年北约自主招生试题参考答案 1 解 设扇形的半径为r 则由 2 1 6 23 r 得6r 于是扇形的弧长为62 3 l 其即为圆锥的底面周长 于是圆锥的底面半径为 1 所以底面面积为 2 1 也所以圆锥的表面积为67S 2 解 由题知所有分组方法有 334 1074 2 2 2100 C C C N A 种 3 解 由题意 2 2uxaxa 的值域包含区间 0 则 2 2uxaxa 与x有交点 故 2 2 40aa 解得1a 或0a 4 解 由 1 1 4 7ff 得 42 1 4 2 1 2 3 33 ff ff 124 1 2 4 3 5 33 ff ff 由数学归纳法可推导得 21 f nnnN 所以 2014 4027f 5 解 由0 0 xy 可知 1 1 1xyxyxy 所以 2 1 44 xy xyxy 即 1 0 4 xy 令 1 0 4 txy 则易知函数 1 yt t 在 0 1 上递减 所以其在 1 0 4 上递减 于是 1 xy xy 有最小值 117 4 44 无最大值 6 解 奇函数 0 0f 故arctan2c 7 证明 由三角公式 2 2tantantan tan2 tan 1tan1tantan 若tan3 是有理数 则tan6 tan12 tan24 为有理数 再由tan6 和tan24 可得tan30 为有 理数 这与 3 tan30 3 为无理数矛盾 因此 tan3 是无理数 8 证 由题可设 22 1122 3 f xg xa xbf xg xa xb 其中 12 0 0aa 则 2222 12221122 11 3 44 f xa xba xbg xa xba xb 由 0f x 有两个不同的实根 则必有 12 a a异号 且 12 0aa 此时 222 121 1221 122 1 2 4 f xaa xaba b xaba b 即 2222 1 122121 1221212 4 4 4 0aba baaaba baa bb 所以 12 bb 故此时观察 22 1122 1 3 4 g xa xba xb 可知 12 3aa 同号 且 12 30aa 12 bb 故 0g x 恒成立 即证明 0g x 没有实根 9 解 不可以同时在M中 下面给予证明 假设 7 16 0 2 3 同时在M中 2014 年 北约自主招生 数学试题 4 设 113 k aakdkkN 其中d为公差 则 3 113 3 636 Maijk dijkamdmmN 于是存在正整数6 36x y z 使得 30 7 3 2 16 3 3 axd ayd azd 从而 7 2 16 3 yx d zx d 也所以 21 32 yx zx 由于 21 32 互质 且 yx zx 为整数 则有 21 32yxzx 但 36630zx 矛盾 假设错误 即证明 7 16 0 2 3 不可以同时在M中 10 证 一法 数学归纳法 当1n 时 左边 1 22121x 右边 不等式成立 假设 1 nk kkN 时 不等式 12 2 2 2 21 k k xxx 成立 那么当1nk 时 则 121 1 kk x xx x 由于这1k 个正数不能同时都大于 1 也不能同时 都小于 1 因此存在两个数 其中一个不大于 1 另一个不小于 1 不妨设 1 1 01 kk xx 从而 111 1 1 01 kkkkkk xxxxx x 所以 121 2 2 2 2 kk xxxx 1211 2 2 22 kkkk xxxxx x 1 121 2 2 2 21 21 21 21 kk kk xxx x 其中推导上式时利用了 1211 1 kkk x xxx x 及nk 时的假设 故1nk 时不等式也成 立 综上 知 不等式对任意正整数n都成立 二法 左边展开得 12 2 2 2 n xxx 12 12 12 12 111 2 2 2 2 k k n nnnn k iijiiin iij niiin xx xx xxx xx 由平均值不等式得 1 1 1212 1212 11 12 11 k kk nnn kk kk C CCkkk iiiniiinnn iiiniiin x xxCx xxCx xxC 故 12 2 2 2 n xxx 1122 2 2 2 2 21 nnnnkknn nnnn CCCC 即证 三法 由平均