2003年高考数学理科试题及答案(全国卷)(理工农医类).doc

2003年高考数学理科试题及答案（全国卷）数学 （理工农医类）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知，则 A. B. C. D. （2）圆锥曲线的准线方程是 A. B. C. D. （3）设函数，若的取值范围是 A. B. C. D. （4）函数的最大值为 A. B. C. D. （5）已知圆（）及直线，当直线被C截得的弦长为时，则 A. B. C. D. （6）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是 A. B. C. D. （7）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则 A. 1B. C. D. （8）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 A. B. C. D. （9）函数的反函数 A. B. C. D. （10）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）。一质点从AB的中点沿与AB的夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点（入射角等于反射角）。设的坐标为。若，则的取值范围是 A. B. C. D. （11） A. 3B. C. D. 6 （12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A. B. C. D. 二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 （13）展开式中的系数是_。 （14）使成立的的取值范围是_。 （15）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种。（以数字作答） （16）下列五个正方形图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是_。（写出所有符合要求的图形序号）三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知复数z的辐角为，且是和的等比中项，求 （18）（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。 （I）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （II）求点到平面AED的距离。 （19）（本小题满分12分） 已知，设 ：函数在R上单调递减 Q：不等式的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围。 （20）（本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有一台风。据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域。当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时该城市开始受到台风的侵袭？ （21）（本小题满分12分） 已知常数，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。 （22）（本小题满分12分，附加题4分） （I）设是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即，。 将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： （i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （ii）求 （II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分） 设是集合中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求【试题答案】一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）D（2）C（3）D（4）A（5）C （6）B（7）C（8）D（9）D（10）C （11）B（12）A二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。 （13）（14）（15）72（16） 三. 解答题。 （17）本小题主要考查复数模、辐角和等比中项的概念，考查运算能力，满分12分。 解：设，则复数z的实部为 由题设 即 整理得 解得 （舍去） 即 （18）本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分12分。 （I）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即EBG是A1B与平面ABD所成的角。 设F为AB中点，连结EF、FC D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC平面ABC CDEF为矩形 连结DF，G是的重心 在直角三角形EFD中， 于是 A1B与平面ABD所成的角是 （II）解法一：，又 面A1AB 又ED面AED 平面AED平面A1AB，且面AED面A1AB=AE 作AE垂足为K， 平面AED，即A1K是A1到平面AED的距离 在中， 到平面AED的距离是 解法二：连结A1D，有 EDAB，EDEF，又 ED平面A1AB 设A1到平面AED的距离为h 则 又 即A1到平面AED的距离为 （19）本小题主要考查集合、函数、不等式、绝对值等基础知识，考查分析和判断能力，满分12分。 解：函数在R上单调递减 不等式的解集为函数在R上恒大于1。 函数在R上的最小值为2c 不等式的解集为 如果P正确，且Q不正确，则 如果P不正确，且Q正确，则 所以c的取值范围为 （20）本小题主要考查利用余弦定理解斜三角形的方法，根据所给条件选择适当坐标系和圆的方程等基础知识，考查运用所学知识解决实际问题能力，满分12分。 解法一：设在时刻台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为 若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则 由余弦定理知 由于 故 因此 即 解得 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭。 解法二：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向 在时刻台风中心的坐标为 此时台风侵袭的区域是：， 其中 若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 即 即 解得 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭。 （21）本小题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。满分14分。 解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值。 按题意有 设 由此有 直线OF的方程为：，（1） 直线GE的方程为：（2） 从（1）、（2）消去参数，得点坐标满足方程 整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值 （22）本小题主要考查数列，排列组合概念等知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分12分。 （I）解：（i）第四行 17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 （ii）解法一：设，只须确定正整数 数列中小于的项构成的子集为 其元素个数为 依题意 满足上式的最大整数为14，所以取 因为 ，由此解得 解法二：为的下标 三角形数表第一行第一个元下标为1 第二行第一个元下标为 第t行第一个元下标为，第t行第s个元下标 为，该元等于 据此判断所在的行。 因为，所以是三角形数表第14行的第9个元 （II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分） 解： 令 （其中，） 因 现在求M的元素个数：