2003年春季高考(北京)数学(理)试题.doc

绝密启用前2003年普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷1至2页.第卷3至8页.共150分.考试时间120分钟. 第卷（选择题 共60分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 正棱台、圆台的侧面积公式其中、c分别表示上、下底面周长l表示斜高或母线长球体的体积公式其中R表示球的半径参考公式：三角函数的积化和差公式 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合（ ）ABCD2若，则方程的根是（ ）ABC2D23设复数（ ）ABCD4函数的最大值是（ ）ABCDyyyyxxxxABCD5在同一坐标系中，方程的曲线大致是（ ）6若A，B，C是ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ）ABCD7椭圆为参数）的焦点坐标为（ ）A（0，0），（0，8）B（0，0），（8，0）C（0，0），（0，8）D（0，0），（8，0）8如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将ABC 沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度 数为 （ ）A90B60C45D09某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两 个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）A42B30C20D1210已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形（ ）A是锐角三角形B是直角三角形C是钝角三角形D不存在11若不等式的解集为（1，2），则实数a等于（ ）A8B2C4D812在直角坐标系xOy中，已知AOB三边所在直线的方程分别为，则AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A95B91C88D75绝密启用前2003年普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类）（北京卷）第卷（非选择题 共90分）注意事项：1第卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2答卷前将密封线内的项目填写清楚.题 号二三总 分171819202122分 数（1） （2）得分 评卷人二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 .14在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.年龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （ ）145舒张压（水银柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （ ）8815如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则b2的值是 .16若存在常数，使得函数的一个正周期为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 得分 评卷人17（本小题满分12分）解不等式：得分 评卷人 18（本小题满分12分） 已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. 得分 评卷人19（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBD=G. （）求证：平面B1EF平面BDD1B1； （）求点D1到平面B1EF的距离d； （）求三棱锥B1EFD1的体积V. 得分 评卷人20（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？得分 评卷人21（本小题满分13分）如图，在边长为l的等边ABC中，圆O1为ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆On的面积为. （）证明是等比数列； （）求的值.得分 评卷人22（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上. （）求动圆圆心的轨迹M的方程； （）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A，B两点. （i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.绝密启用前2003年普通高等学校春季招生考试 数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13 14（140）（85） 15 16注：填的正整数倍中的任何一个都正确. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分. 解：原不等式变形为.所以，原不等式.故原不等式的解集为. 18本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由. 所以的定义域为 因为的定义域关于原点对称，且 是偶函数. 当 ， 所以的值域为19本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分. （）证法一：连结AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1. E，F分别为AB，BC的中点，故EFAC，EF平面BDD1B1，平面B1EF平面BDD1B1. 证法二： BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD. 又 EFD1DEF平面BDD1B1， 平面B1EF平面BDD1B1.（）在对角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足为H. 平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足为H，点D1到平面B1EF的距离d=D1H. 解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H. ， 解法二： D1HB1B1BG， ， 解法三： 连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半， 即， （） 20本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.解：（）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车. （）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得.所以，当x=4050时，最大，最大值为，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元. 21本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. （）证明：记rn为圆On的半径，则所以故成等比数列. （）解：因为所以22本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为.（）（i）由题意得，直线AB的方程为消y得所以A点坐标为，B点坐标为（3，），(3，)假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 由得但不符合，所以由，组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（1，y）使ABC成钝角三角形，由，即当点C的坐标为（1，）时，A，B，C三点共线，故.又， ， . 当，即， 即为钝角. 当，即， 即为钝角. 又，即， 即. 该不等式无解，所以ACB不可能为钝角. 因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是. 解法二： 以AB为直径的圆的方程为. 圆心到直线的距离为， 所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G. 当直线l上的C点与G重合时，ACB为直角，当C与