初三数学复习4.pdf

热点题型探究 第 课时 代数综合题 综合题是指涉及的知识面较宽 解题过程较复杂 解题方 法较灵活的有一定难度的题目 数学综合题大致可分为以代 数知识为主体的综合题 以几何知识为主体的综合题 代数 几何知识相结合的综合题 以代数知识为主体的综合题 简称代数综合题 是指以代 数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题 分析探 求思路 优化实施解答 反思验证结论 是解代数综合题的基 本过程 在这个过程中要善于运用转化思想 数形结合思想 分类讨论思想和方程思想 代数综合题涉及的知识类别常是 你中有我 我中有你 因此不易将它们作十分明显的分类 为了复习方便 我们将其 分为 方程不等式型 函数型 类型一 方程不等式型 典例 重 庆 先 化 简 再 求 值 x x x x x x 其 中x是 不 等 式 组 x x 的整数解 解析 将原式括号中的第一项分母利用平方差公式分解因 式 然后找出两分母的最简公分母 通分并利用同分母分式的减法法 则计算 分子进行合并整理 同时将除式的分母利用完全平方公式分 解因式 然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为 乘法运算 约分后即可得到结果 分别求出x满足的不等式组 两个一 元一次不等式的解集 找出两解集的公共部分确定出不等式组的解 集 在解集中找出整数解 即为x的值 将x的值代入化简后的式子中 计算 即可得到原式的值 全 解 原 式 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 又 x x 由 解得x 由 解得x 不等式组的解集为 x 其整数解为 当x 时 原式 提醒 此题考查了分式的化简求值 以及一元一次不 等式的解法 分式的加减运算关键是通分 通分的关键是找最 简公分母 分式的乘除运算关键是约分 约分的关键是找公因 式 约分时分式的分子分母是多项式 应先将多项式分解因式 后再约分 典例 福建福州 某次知识竞赛共有 道题 每 一题答对得 分 答错或不答都扣 分 小明考了 分 那么小明答对了多少道题 小亮获得二等奖 分 请你算算小亮答对了几 道题 解析 设小明答对了x道题 则有 x道题答错或不 答 根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是 分 即可得 到一个关于x的方程 解方程即可求解 类似的 答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分 即最后 的得分满足大于或等于 而小于或等于 据此得到关于x的不等 式组 从而求得x的范围 再根据x是非负整数即可求解 全解 设小明答对了x道题 依题意 得 x x 解得x 小明答对了 道题 设小亮答对了y道题 依题意 得 y y y y 因此不等式组的解集为 y y是正整数 y 或 即小亮答对了 道题或 道题 提醒 本题考查了列方程解应用题 以及列一元一次 不等式解决问题 正确列式表示出最后的得分是关键 类型二 函数型 典例 福建莆田 如图 某种新型导弹从地面发射 点L处发射 在初始竖直加速飞行阶段 导弹上升的高度y k m 与飞行时间x s 之间的关系式为y x x x 发 射 s后 导弹到达点A 此时位于与点L同一水平面的R处雷达 站测得A R的距离是 k m 再过 s后 导弹到达点B 求发射点L与雷达站R之间的距离 当导弹到达点B时 求雷达站测得的仰角 即 B R L 的正切值 解析 在解析式中 把x 代入函数解析式 即可求得 A L的长 在R t A L R中 利用勾股定理即可求得L R的长 在解析式中 把x 代入函数解析式 即可求得A L的长 在 直角 B L R中 根据正切函数的定义即可求解 全解 当x 时 y k m 在R t A L R中 L R A R A L k m 当x 时 B L 在R t B L R中 t a n B R L B L L R 提醒 本题是二次函数与三角函数的综合应用 正确 求得函数值 理解三角函数的定义是关键 典例 北京 已知二次函数y t x t x 在x 和x 时的函数值相等 求二次函数的解析式 若一次函数y k x 的图象与二次函数的图象都经 过点A m 求m和k的值 设二次函数的图象与x轴交于点B C 点B在点C的 左侧 将二次函数的图象在点B C间的部分 含点B和点C 向左平移n n 个单位后得到的图象记为G 同时将 中 得到的直线y k x 向上平移n个单位 请结合图象回答 当平移后的直线与图象G有公共点时 n的取值范围 解析 因为x 和x 时的函数值相等 所以根据对称 轴x 可求出t值 从而求出二次函数的解析式 把点A的坐标代入抛物线解析式 即可求出m 把点A的坐标 代入直线解析式 即可求出k 求出点B C间的部分图象的解析式是y x x 得出抛物线平移后得出的图象G的解析式是y x n x n n x n 直线平移后的解析式是y x n 若两图象有一个交点时 得出方程 x n x n x n 有两个相等的实数解 判别式 n 求出的n的值与已 知n 相矛盾 得出平移后的直线与抛物线有两个公共点 设两个临 界的交点为 n n 代入直线的解析式 求出n的值 即可得出答案 全解 由题意可知依二次函数图象的对称轴为x 则 t t t y x x 二次函数图象必经过点A m 又 一次函数y k x 的图象经过点A k k 即m k 由 题 意 可 知 点B C间 的 部 分 图 象 的 解 析 式 为 y x x x 则抛物线向左平移后得到的图象G的解析式为 y x n x n n x n 此时直线平移后的解析式为y x n 如果平移后的直线与平移后的二次函数相切 则方程 x n x n x n 有两个相 等的实数解 即 x n x n 有两个相等的实数 解 判 别 式 n n n 即n 与已知n 相矛盾 平移后的直线与平移后的抛物线不相切 结合图象可知 平移后的直线与抛物线G有两个公 共点 则这两个临界的交点为 n 与 n 则 n n 得n n n 得n 即n的取值范围是 n 提醒 前两问比较简单 第三问有一定难度 对于函数 图象平移的理解 以及对于直线与抛物线位置关系的运用要 求比较高 此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示 出临界点的坐标 带入直线解析式即可得到n的取值范围 热点题型探究 甘肃兰州 已知x是一元二次方程x x 的 根 求代数式 x x x x x 的值 广东珠海 某商店第一次用 元购进 B铅笔若干 支 第二次又用 元购进该款铅笔 但这次每支的进价 是第一次进价的 倍 购进数量比第一次少了 支 求第一次每支铅笔的进价是多少元 若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后 获利不低于 元 问每支售价至少是多少元 贵州铜仁 为了抓住梵净山文化艺术节的商机 某商 店决定购进A B两种艺术节纪念品 若购进A种纪念品 件 B种纪念品 件 需要 元 若购进A种纪念品 件 B种纪念品 件 需要 元 求购进A B两种纪念品每件各需多少元 若该商店决定购进这两种纪念品共 件 考虑市场需 求和资金周转 用于购买这 件纪念品的资金不少于 元 但不超过 元 那么该商店共有几种进货 方案 若销售每件A种纪念品可获利润 元 每件B种纪念 品可获利润 元 在第 问的各种进货方案中 哪一 种方案获利最大 最大利润是多少元 福 建 厦 门 如 图 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 已 知 点 A B 连接A B 如果点P在直线y x 上 且点P到直线A B的距离小于 那么称点P是线段A B 的 临近点 判断点C 是否是线段A B的 临近点 并说明 理由 若点Q m n 是线 段A B的 临 近 点 求m的 取 值 范围 第 题 贵州黔东南州 如图 已知抛物线经过点A B C 三点 求抛物线的解析式 点M是线段B C上的点 不与B C重合 过点M作 MN y轴交抛物线于点N 若点M的横坐标为m 请 用m的代数式表示MN的长 在 的条件下 连接NB NC 是否存在m 使 BN C 的面积最 大 若 存 在 求m的 值 若 不 存 在 请 说 明 理由 第 题 基础达标 江苏南京 化简代数式 x x x x x 并判断当x满 足不等式组 x x 时该代数式的符号 福建南安 某校九年级举行数学竞赛 派了两位老师 去某超市购买笔记本作为奖品 已知该超市A B两种笔记 本的价格分别是每本 元和 元 他们准备购买这两种笔 记本共 本 如果他们计划用 元购买奖品 那么能买这两种笔记 本各多少本 两位老师根据比赛的设奖情况 决定购买A种笔记本 的数量不少于B种笔记本数量的 请你帮他们分析 购买这两种笔记本各多少本时 花费最少 此时的花费 是多少元 河南 某中学计划购买A型和B型课桌凳共 套 经招标 购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳 少用 元 且 购 买 套A型 和 套B型 课 桌 凳 共 需 元 求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少 元 学校根据实际情况 要求购买这两种课桌凳总费用不 能超过 元 并且购买A型课桌凳的数量不能超 过B型课桌凳的 求该校本次购买A型和B型课桌 凳共有几种方案 哪种方案的总费用最低 综合拓展 山东烟台 如图 在平面直角坐标系中 A B两点的纵 坐标分别为 和 直线A B与y轴所夹锐角为 求 线段A B的长 经过A B两点的反比例函数的解析式 第 题 原式 x x x x x x x x x x x x x 当x 时 原式 设每支铅笔的进价为x元 由题意 得方程 x x 解得x 经检验 x 是原方程的根 设每支售价为y元 第一次购买 支 第二次购买 支 得 y 解得y 即每支售价至少是 元 设该商店购进一件A种纪念品需要a元 购进 一件B种纪念品需要b元 根据题意 得 a b a b 解得 a b 购进一件A种纪念品需要 元 购进一件B 种纪念品需要 元 设该商店购进A种纪念品x个 则购进B种纪 念品有 x 个 x x x x 解得 x x为正整数 共有 种进货方案 因为B种纪念品利润较高 故B种数量越多总利润越高 因此选择购A种 件 B种 件 总利润 元 当购进A种纪念品 件 B种纪念品 件 时 可获最大利润 最大利润是 元 点C 是线段A B的 临近点 理由 点P到直线A B的距离小于 A B的纵坐标 都是 A B x轴 当纵坐标y在 y 范围内时 点C是线段 A B的 临近点 点C的坐标是 y 且小于 点C 是线段A B的 临近点 由 知线段A B的 临近点 的纵坐标的范围 是 y 把y 代入y x 得x 把y 代入y x 得x x 点Q m n 是线段A B的 临近点 m的取值范围是 m 设抛物线的解析式为y a x x 则 a a 抛物线的解析式为y x x x x 设直线B C的解析式为为y k x b 则有 k b b 解得 k b 故直线B C的解析式为y x 已知点M的横坐标为m 则M m m N m m m MN m m m m m m S B N C S MN C S MNB MN O D D B MN O B S B N C m m m m 当m 时 B N C的面积最大 最大值为 课后精练 x x x x x x x x x x x x x 解不等式组 x x 解不等式 得x 解不等式 得x 所以不等式组的解集是 x 当 x 时 x x 所以x x 即该代数式的符号为负号 设能买A种笔记本x本 B种笔记本y本 依题意 得 x y x y 解得 x y 即能买A种笔记本 本 B种笔记本 本 设购买A种笔记本x本时共花费W元 则 W x x x 依题意 有x x 解得x 在W x 中 W随x的增大而增大 又x为 整数 当x 时 W最小 元 即购买A种笔记本 本 B种笔记本 本时 花费 最少 此时的花费是 元 设A型每套x元 B型每套 x 元 x x x x 即购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需 元和 元 设购买A型课桌凳a套 则购买B型课桌凳 a 套