最给力2003年全国各地高考数学模拟试题选析.doc

3 , . s, , , 2003年全国各地高考数学模拟试题选析 三 角 函 数(湖北省孝感高级中学试题研究小组 组长: 徐新斌 执笔: 代丽萍)一、高考回顾三角函数是高中数学的基础知识，是高考考查的重点内容之一高考主要考查三角函数的图象、性质，以及结合三角变换求三角函数值, 以此为载体考查学生的灵活运用知识的能力和综合处理问题的能力, 涉及的数学思想方法主要有数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想.从近三年的高考试题(新课程卷)看,三角函数的分值占总分的11%左右年份理科文科性质图象应用性质图象应用2003年题号分值2,17(1)5, 1217(2)4, 215, 122002年题号分值5,175,125,14, 185,4, 122001年题号分值1,22(1)5,81,4,155,5,4二、新题评析 基础题注重考查三角函数的化简、求值，三角函数的图象、性质尤其是三角函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性和最值作为基础题，有些题是只需稍作变换即可作答的题，也有些题给出的函数式较为复杂，必须经过化简成基本函数之后才能解决有关的函数性质和图象变化情况例（南京市高三第二次质量检测）函数的部分图象是（） y yo x o x A By yo x o x C D解：先考察函数，它是偶函数，关于轴对称，过点，把它的图象向右平移个单位，即得到的图象，因此它的图象应该关于对称，且经过点符合这个条件的只有评析：根据图象的基本特征进行分析、作出判断，是近几年高考命题的一个趋势，也是能力立意的命题要求，应引起重视对于此题，熟悉基本函数的图象是解题的关键，其次就是掌握对称变换和平移变换的变换规律例（天津市高中质量调查）函数是（）周期为的奇函数周期为的偶函数周期为的奇函数周期为的偶函数解：原函数可化为故选评析：本题考查了函数的奇偶性和周期性利用降幂公式与对原函数式进行化简是本题的关键问题对于这类问题，通常是通过变形、变换化为一个角的一个三角函数的形式后再来求解或判断例（天津市高中质量调查）已知，且，求的值解：，评析：今年的模拟试题中，通过三角变换求值、化简、证明题较多本题主要考查三角变换的角的变换，拆角与凑角是角的变换的常用手段本题的关键在于发现目标角与已知角之间的关系：通过这种变角，要求出的值，因此还必须判断角的取值范围例（苏州市高三教学情况调查）设函数（）写出函数的最小正周期及单调递增区间；（）时，函数的最小值为，求此时函数的最大值，并指出取何值时，函数取到最大值解：（）由得故函数的单调区间为（），当时，原函数取最小值，即，即时，取到最大值评析：本题综合考查了函数的周期性、单调性与最值等问题解决这类问题的通常方法是：先将已知函数式变形为形如的形式，然后分别利用求出最小正周期、利用基本函数的单调性求单调区间、在求最值问题时，应注意其定义的制约例（北京东城区第一次模拟考试）使函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的，然后再将其图象沿轴向左平移个单位，得到的曲线与相同（） 求的表达式；（） 求的单调递减区间解：（）先将的图象向右平移得，即的图象再将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，而纵坐标不变，得到的图象则即为所求（）由得即的单调递减区间为评析：本题考查了图象的变换，以及的单调区间的求法解本题首先要弄清楚的是由哪个函数的图象变到哪个函数的图象，顺序颠倒变换方式正好相反这里已知的是变换后的解析式，要得到原来的解析式，必须倒过来变换即而单调区间由基本函数确定 综合题与近几年的高考题一样，模拟试题也很好地控制了试题的难度，通常是放在解答题的前两题的位置，属低、中档题注重三角函数的图象和性质的灵活运用，或以三角知识为背景，考查学生运用数学知识和思想方法去综合分析、解决问题的能力，如有关数列、三角形、向量等题型难度明显呈下降趋势例对于函数，给出下列四个命题：存在，使；存在，使恒成立；存在，使函数的图象关于轴对称；函数的图象关于点对称其中正确命题的序号是解：，而，故存在，使的周期为若存在，使恒成立，则是它的周期， ，这与相矛盾取，则这是一个偶函数，它关于轴对称点是与轴的交点，故函数的图象关于点对称评析：本题考查了函数的值域、周期、奇偶性、点对称和轴对称等多种情况，是一个简单的探索性问题，只有熟练掌握了函数的图象特征及性质，才能作出正确的解答例（湖北省黄冈市高三模拟考试一）关于x的方程的两根为、，且若数列，的前100项和为0，求的值解：，而数列的首项为，由等比数列的前项和公式得又评析：本题以数列为载体，考查三角函数知识的综合运用能力，既有三角函数的化简，又有三角函数的求值例(广州市普通高中毕业班综合测试二)在中, 角A、B、C的对边分别为、.若的外接圆的半径,且, 分别求出B和b的大小.解：由正弦定理得，代入得整理得即又评析：本题主要考查解斜三角形和三角恒等变换等基础知识, 考查运算能力和逻辑推理能力其实有关三角形中的三角函数问题，就是在所附设条件下的三角函数的求值、化简和证明这是一种既常见又典型的问题解决这类问题，不仅要用到三角变换的基本方法和常用技巧，还要用到三角形的相关知识，如正弦定理、余弦定理、面积公式以及等这类问题是近年来，高考的热点和难点，有的题目只涉及角，但更多的是边、角同时涉及应用题与探索题注重考查数学建模思想，结合三角函数知识，把实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际问题的能力，对信息进行收集、加工、分析、整理等分析问题和解决问题的能力从今年模拟试题来看，三角函数与数列、向量的结合是命题趋势例(北京崇文区第二次模拟考试)已知如图, 某海滨浴场的岸边可近似地看成直线, 位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救, 救生员尚有直接从A处游向B处, 而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处, 然后游向B处,若救生员在岸边的行进速度为6米/秒,在海中的行进速度为2米/秒.(I) 分析救生员的选择是否正确;(II) 有AD上找一点C, 使救生员从A到B的时间为最短,并求出最短时间. B 300米 A C D解: (I)由A直接游向B 处的时间为(秒)由A经D到B的时间为(秒)而,因此, 救生员的选择是正确的.(II)设于是从A经C到B的时间为 当且仅当此时, (米)时, t取得最小值为秒.因此,点C应选在沿岸边AD, 距D点米处, 才能使救生员从A到C再到B所用时间最短. 最短时间为秒.评析: 本题考查的是运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题时，首先要注意阅读理解，弄清题意，特别是各个量之间的关系，根据示意图，分析与解决问题有关的三角形，然后利用有关公式（更多的时候是利用正弦、余弦定理）求解 例（太原市高三年级模拟考试）已知函数的图象经过点（，），且当时，取最大值（）求的解析式；（）是否存在向量，使得将的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个，若不存在，说明理由 解：由题意知当时，由解得时，无解；当时，相矛盾综上可知（）是奇函数，将的图象向左平移个单位，再向下平移个单位就可得到的图象因此，将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位就可得到奇函数的图象故是满足条件的一个平移向量评析：作为探索性问题，本题的关键在于用待定系数法确定、，从而求出的解析式，然后比较和，确定存在这样的平移向量三、命题趋向近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强考题主要以选择题、填空题的形式出现，难度不大，从近些年考查的内容来看，大致可分为这样一些问题：与三角函数单调性有关的问题；与三角函数图象有关的问题；应用同角变换及诱导公式，求三角函数值、化简和证明；与三角函数周期有关的问题在新课改中，向量一种重要的工具在解题中发挥着重要的作用，近几年的考高实践足以说明这一点，在各地的模拟试题中也得到了很好的体现例（北京西城区第一次模拟试题）函数是定义在上的偶函数，当时，；当时，的图象是斜率为，在轴上截距为的直线在相应区间上的部分（） 求的值；（） 写出函数的表达式，作出其图象并根据图象写出函数的单调区间解：（）依题意知当时，又是定义在上的偶函数，又当时，（）是偶函数，时，此时当时，此时由图象可知，函数的递增区间为；递减区间为评析：本题是一个分段函数，求分段函数的解析式，作分段函数的图象，一直是各地模拟试题的热点解本题时，首先应搞清在的解析式，然后，根据偶函数的性质易求出的值；求在上的解析式，主要运用了区间转化的办法，结合偶函数的性质求解只要作出了在上的图象，利用偶函数的对称性，容易画出在上的图象；最后从图象上观察出函数的单调区间例(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一次联合考试)已知向量,且.（） 求；（）若的最小值是，求的值 解：（1），（），即，当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾；当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得；当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得