用函数周期性解题的常见类型.pdf

化 学 习 唾 所以 2 丁 1 I 证 明 依题设 Y 关 于直线 l 对称 故 l l 即 2一X R 又由 厂 是偶 函数知 X R 所以 一 2一 R 将上式 中 一 以 代换 得 2 R 这 表明 是 兄上的周期 函数 且 2是它 的一个周期 三 确定函数的单调性 例 5 定义在 兄上的函数 有 2 3 x l 0 3 x 若 0 6 时 厂 是增 函 数 求 3 6 l 2 时的函数 的增减性 解 因为 2 3 x 1 0 3 x 所以函数 的对称轴为 6 又因为 0 6 时 递增 所以I 厂 在 6 1 2 时 递减 四 比较大小 例 6已知 函数 x 一b x c 且 满 足 0 3 2 一 对实数 m 比较 b 与 c 的大小 解 因为 0 3 所以 C 3 王辉刘康宁 用函数周期性解 灵活应用 函数周期性 可巧妙 的解 答某些 数学 问题 它对训练学生 分析问题 与解决 问题 的能力有重要作用 下面通过实例说明其应用 类型 供师生们参考 又因为 2 一 所 以 的对称轴方 程为 一 1 所 n 以 b 2 所以函数 X 一2 x 3 6 2 c 3 m i 当 m 0时 2 3 1 所以 2 3 i i 当 t 1 0时 3 2 1 因为 f 在 1 时为增 函数 所 以 3 2 i i i 当 m 0时 0 3 2 1 所 以 2 3 所1 Xf b C 仅 当 m 0时取 等 号 五 求值 4 1 7 已 知 等 函 数 g 的 图像与 1 的图像 关 于直线 Y 对 称 求 g 1 1 的值 分析 由题意知 Y g 与 Y 厂 1 互为反函数 而 Y 厂 1 的反函数为 r 一l 所 以 l 导g 1 1 l 寻 辽宁省辽中县第一中学 1 1 O 2 O O 型 一 一一一一 题 维普资讯 A 0 5 B 一 0 5 C 1 5 D 一1 5 分析 此题的关键在于求 Y 的周期 如果类比模型函数 Y s i n x及诱导公式 s i n 仃 一 s i n x 将由Y s i n x 最小正周期为 2 r 可以猜想 周期为2 2 4 会使问题得以 解决 解 因为 4 2 2 一 厂 2 一 一 所 以 4 故 函数的周期为 4 所 以 7 5 8 0 5 0 5 一 一 0 5 因为 0 1时 所 以 7 5 一 0 5 所以选择 B 例 2 已知f 是 定 义在 实数 集 上的 函 数 且 2 1一 1 1 2 求 1 9 8 9 的值 分析 回顾三角部分 的知识 不难 发现 t a n 手 与 满 足 的 关 系 式 的 结 构 完 全类似 由 于ta n x 的 周期仃 4 孚 而这个 旱相当 于原 题中的2 于是可猜想 是以4 2 8为其一个周期的周期函数 解 由已知得 那么 4 2 2 一 2 一 一 1一 f 2 一1 一 1一 一 一 所以 8 4 4 一 t t p f v 2 8为周期的 周期 函数 由于 1 2 知 8 k 1 1 2 l O 所以 l 9 9 9 f 1 9 8 5 4 一 f 1L 9 8 5 一 一 而1 一 1 一 2 一 3 一2 所 以 1 9 8 9 一 2 二 比较函数值大小 例 3 若 尺 是 以 2为周期 的偶 函数 当 I o 1 时 由 试 比较 9 8 百1 0 4 的大小 解 因为 R 是以2为周期的偶函 数 所以 八9 8 f 6 一 1 6 一 1 6 1 6 f 6 一 一 1 百1 0 4 f 6 1 4 1 4 又因为 在 O 1 上是增函数 且 o 1 6 1 4 l 所 以 蔷 等 即 1 0 1 9 8 百1 0 4 三 求函数解析式 例 4 设 是 定义在 区间 一 上且以2为周期的函数 对 七 z 用 表示区 间 2 k一1 2 k 1 已知 当 o时 求厂 在 的解析式 解 设 2 k一1 2 k 1 所 以 2 k一1 2 k l 一l 一2 k 1 因为 0 时 有 所 以由 一1 一 2 k2 求数 列 的通 项公 式 井 计 鼻 口 I 口 5 0 9 0 1 9 9 7 分析 此题的思路与例 2思路类似 解 令 口 t a n a 则 口 1 a I 1 t a na t a n 7 1 a 1 1 号 ta n 2 予 所以口 l l t a x i l 1 手 a 于 是 1 予 不难用归纳法证明数列的通项为 口 ta n 予 n 一 手 a 且 以 4 为 周 期 于 是 有l 5 9 1 9 9 7 是以4为公差的等差数列 所 以 口 I 口 5 口 9 口 I 蛳 由 1 9 9 7 l l 1 X 4得总项数为 5 0 0项 所 以 口 I 口 5 口 I蛳 5 0 0 X口 I 5 0 0矗 七 在二项式中的应用 例 9 今 天是 星 期 三 试 求今 天后 的 第 9 2 天 是 星期 几 分析 转化为二项式 的展开式后 利用一周 为七天这个循环数来进行计算 解 因为 9 2 9 2 9 1 1 9 2 c 9 1 9 2 c 9l 引 9l 9l 1 所 以9 2 9 2 7 1 3 1 9 2 c 7 1 3 9 2 7 1 3 引 7 1 3 7 l 3 1 因为展开式 中前 9 2项中均有 7这个因子 最后一项为 l 即为余数 故9 2 天为星期四 八 复数 中的应用 例 1 0 设z 一 下 1 是虚数单位 礓 维普资讯 j 霪 学 f 尹 则满足等式 且 大于 1的正整数 r L 中最小 的是 人 3 B 4 C 6 D 7 分析 运用 一 方幂的周期性求 值即可 解 因为 z 所 以 一1 O j l 因为 l 所以 r L l必须是 3的倍数 即 r L l 3 k 所 以 凡 3 k l 七 V 所以 七 l 时 r L 最小 所以 r L 4 故选择 B 九 解 立几 题 例 l l A B C D A l Bl C Dl 是 单位长 方体 黑白二蚁都 从点 A 出发 沿棱 向前爬 行 每 走 一 条棱称 为 走 完一 段 白蚁 爬 行 的路 线 是 一 l I Dl 一 黑蚁 爬行 的路 线 是 A 一 l 一 它们都遵循 如下规则 所爬行 的第 2段 所在 直线与 第 i 段 所在 直线必 须是异 面直 线 其 中i v 设黑 白二蚁走 完第 1 9 9 0段后 索云旺王宇明 各停 止在 正方体的某个顶点处 这 时黑 白蚁的 距 离是 A 1 C 解 如 图 1 依 条 件 列 出 白 蚁 的 路 线 l Al Dl Dl Cl Cl C l 立即可以发现 白蚁 走完六 段后 又 回到 了 A点 可验 证 知 黑 白 二蚁走 完六 段 后必 回 B D 0 图 1 到起点 可 以判断每六段是一个周期 1 9 9 0 6 3 3 1 4 因此原问题就转化为考 虑黑 白二蚁走 完四段后 的位置 不难计算 出在 走完 四段后黑蚁在 D 点 白蚁在 C点 故所求 距离是 陕西省咸阳市南郊中学 7 1 2 0 4 6 陕西省西安市西光q 3 7 1 0 0 4 3 几个有关函数 性质 的命题及应 用 命题 l 已知函数 Y 厂 R 给出如 下三个论断 是奇函