中等数学全国初中数学联赛模拟题(180).pdf

3 8 中 等 数 学 数学 渤 删拣 1 8 0 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 7 1 0 0 0 3 8 0 4 第 一 试 一 选择题 每小题 7分 共 4 2分 1 已知 自然数 a b c 之和为 s 满足 a b 1 01 4 c b 4 9 7 a 6 则 s的最大值为 A 1 5 1 1 B 2 0 1 5 C 2 0 1 7 D 2 0 1 8 2 如图 1 在 A B C中 以 B C为 直径 的 半圆分别与边 A B A C 交 于 D E 两 点 若 DE EC 4 BC BD 严 的 值为 图1 A 3 B 2 c D 5 3 从 一3 一2 1 1 3这五个数 中随机 地抽取一个数 记为 若数 a使得关于 的 不等式组 f 2 x 7 i 3 l L n o 无解 且使得关于 的分式方程 a 一2 一 一 一 3 3一 有正整数解 则这五个数 中所有满足条件的 a的值之和为 A 一 5 B 一 2 c 1 D 4 设二次函数 Y n 一 一 常 数 a O l 2 的图像与一次函数 Y 2 d x e 常数 d 0 e 待定 的图像交于点 0 若函数 Y Y 的图像与 轴仅有一个交 点 则 一 的值为 A 一 旦 B 一旦 C 旦 D a a a a a 5 图2所示为一个污水净化塔 内部 污 水从上方人 口进入后流经形如等腰直角三角 形的净化材科表面 流向图中箭头所示 每一 次水流流经三角形两腰的机会相同 经过四 层净化后流人底部的五个出口中的一个 1 2 3 4 5 图 2 下 列判 断 五个 出口的出水量相同 号出口的出水量与 4号出口的出水量 相 同 1 2 3号 出水 口的出水量之 比约为 1 4 6 若净化材科损耗的速度与流经其表面 水的数量成正比 则更换最慢的一个三角形 材科使用的时间约为更换最快的一个三角形 材科使用时间的 8 倍 其中 正确的判断为 A B C D 2 0 1 7年第 1 O 期 3 9 6 如 图 3 在菱 形 A B C D 中 A B C 1 2 0 A B E为边 B C延长线上一点 A E 与 C D交于点 F 联结 B F并延长 与 D E交于 点 G 则线段 B G长的最大值为 A 图 3 A B 2 C 2 D 4 二 填空题 每小题 7分 共 2 8 分 1 已知 口 b 8 a 2 b 4 则 哇 一 a b 2 2 将 r t 1个边长为 1的正方形按 图 4 的方式排列 点 A A 1 A 2 A 1 M 为正方形 的顶点 联结 A M i 1 2 与边 4 一 交 于点 记 四边 形 的面积为 S i 1 2 几 则 S2 o 1 7 M M L M M M 4 1 2 3 4 5 图 4 3 如 图 5 在 R t A B C中 A 9 0 AB A C M N 分 别为 B A C的 中点 为线段 A 图 5 C M N上任意一点 D与点 不重合 B D C D的延长线分别 与 A C A B交于点 F 区 若 一 3 B E C F 4 则 c 一 一 一 啦 II l 一 4 竖直上抛的小球离地面高度为关于其 运动时间的二次 函数 小红相隔 1秒依次竖 直向上抛出两个小球 假设两个小球出手时 离地面高度相 同 在各 自抛出后 1 1 秒时到 达相同的最大离地面高度 若第一个小球抛 出后 t 秒时在空 中与第二个小球的离地面高 度相同 则 t 一 第 二 试 一 2 O分 设二次函数 Y C 当且仅当 1 9 0 以 HC 为直径 的 圆与 A B C 的外接圆交 于另一点 D 延 长 D H 与 A B交 于点 证明 M 为线 段 A B的中点 参 考 答 案 第 一 试 图 6 1 C 由 S 12 b c 1 0 1 4 b 4 9 7 且 0 b 1 01 4 0 b b 1 b j b 5 0 6 6 b 5 0 6 S 1 01 4 5 0 6 4 9 7 2 0 1 7 2 A 因为 B C是半圆的直径 所以 BEC 9 0 由 DE E C A B E C B E 中 等 数 学 AB BC AE EC DE AD AB BD BC BD 1 6 由 A E D E E C 4 A C 8 由 A E D A B C AB BC 1 0 一 一 C 5 故 肋 3 5 3 B 由题给不等式组得 1 且 a 又不等式组无解 知 0 1 再 由 一 一1 得 一 j j 一 Z 又 为正整数 且 0 1 于是 a 一 3或 1 因此 所求为 一 2 4 D 由一次函数 Y d x e d O 的图像经 过点 0 得 Y 2 d 一 1 Y Y 1 Y 2 一 1 a x一 2 d 又函数 Y Y 的图像与 轴仅有一 个交点 得 Y Y Y 为二次函数 且其顶点 在 轴上 即 Y Y 1 Y 2 a x一 1 a 一 2 d a x一 1 令 戈 l 得 a x 2 一 1 d 因 此 z 詈 5 C 据图示 出水 口之间存在不同 知 错误 由对称性知 正确 根据第一个出水 口的出水量为 1 第二 个 出 水 口 的 出 水 量 为 寺 第 三 个 出 水 口 的 出 水 量 为 孛 知1 2 3 号 出 水口 的 出 水 量 之 比 约为 1 4 6 故 正确 注意到 l号与 5号 出水 口的出水量为 1 6 此处三角形材料损耗速度最慢 第一次分 流后的出水量为 即净化塔最上面一个等 腰直角三角形两条直角边的出水量为 于 是 净化塔最上面的三角形材料损耗最快 故 更换最慢的一个三角形材科使用的时间约为 更换最快的一个三角形材科使用时间的8 倍 因此 正确 6 B 过点 E作 E H C D 与 B G的延长线交于 点 日 联结 C H 则 H E C 1 8 0 一 A B C 6 0 一C E一 一丝 BC AF AB 由 B C A B j C E H E H C E为等边三角形 CH C E 易证 B C H DC E 故 G B C G DC 即点 G在 B C D的 外接圆上 由条件易求该圆的直径为 2 即线段 B G 长的最大值为 2 二 1 2 8或 3 6 由 a b 8 a 2 b 4 4 2 0 a b 4 a b 2 8或 3 6 4 0 3 5 4 0 3 6 注蒯 则 A n j s 十 2 n l 2 0 1 7年第 1 O期 4 1 4 0 3 5 2 o 1 7 4 0 3 6 3 4 由题意知 肼 C N MN e 由 E MD E B C A F D N F B C BM BE BC DM CN BC DN BC 1 C F B C 2 B C MN 3 BC 2 又面 1 3 故 义面 政 BM 2 j AB 4 BC 4 4 1 6 如图 7 A B 1 设 C 1 1 h 则 D 2 1 由对称性 知点 P的横坐标为 1 1 1 6 第 二 试 图 7 一 1 由题意 知 1和 3为方程 似 C 一 2 x的两个根 且 00 又 0 0 贝 0 一 4 口一2 一 4 a 3 a 0 a 一2一 或 一 2 0 3 所以 每辆车至多只能运 上J 走 3只箱子 从而 4辆车是不能运走全部箱 子 因此 至少需要 5辆车才能将这些箱子一 次性运走 三 如图8 延长 H D 与 A B C的外接圆 交于