2012年全国高考理科数学试题及答案-山东卷.pdf

2012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷山东卷 理科数学理科数学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分 共 4 页 满分 150 分 考试用时 120 分钟 考试结束 务必将 试卷和答题卡一并上交 注意事项 1 答题前 考生务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号 县区和科类填写在 答题卡上和试卷规定的位置上 2 第 I 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其他答案标号 答案不能答在试卷上 3 第 II 卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置 不 能写在试卷上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不能使用涂改液 胶带纸 修正带 不按以上要求作答的答案无效 4 填空题请直接填写答案 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 参考公式 锥体的体积公式 V 1 3 Sh 其中 S 是锥体的底面积 h 是锥体的高 如果事件 A B 互斥 那么 P A B P A P B 如果事件 A B 独立 那么 P AB P A P B 第 I 卷 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 若复数 x 满足 z 2 i 11 7i i 为虚数单位 则 z 为 A 3 5i B 3 5i C 3 5i D 3 5i 解析 i iii i i z53 5 1114 722 5 2 711 2 711 答案选 A 另解 设 Rbabiaz 则iiabbaibia711 2 2 2 根据复数相等可知72 112 abba 解得5 3 ba 于是iz53 2 已知全集U 0 1 2 3 4 集合 A 1 2 3 B 2 4 则 CuA UB 为 A 1 2 4 B 2 3 4 C 0 2 4 D 0 2 3 4 解析 4 2 0 4 0 BACAC UU U 答案选 C 3 设 a 0 a 1 则 函数 f x ax在 R 上是减函数 是 函数 g x 2 a 3 x在 R 上是增函 数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 p 函数 f x ax在 R 上是减函数 等价于10 a 即 20 3 答案应选 B 7 若 4 2 p p q 3 7 sin2 8 q 则 sinq A 3 5 B 4 5 C 7 4 D 3 4 解析 由 4 2 p p q 可得 2 2p p q 8 1 2sin12cos 2 qq 4 3 2 2cos1 sin q q 答案应选 D 另解 由 4 2 p p q 及 3 7 sin2 8 q可得 22 yx 14 yx 42 yx O 4 3 4 7 16 7769 16 7616 8 73 12sin1cossin qqq 而当 4 2 p p q 时qqcossin 结合选项即可得 4 7 cos 4 3 sin qq 答案应选 D 8 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 6 f x 当 3 x 1 时 f x x 2 2 当 1 x 3 时 f x x 则 f 1 f 2 f 3 f 2012 A 335 B 338 C 1678 D 2012 解析 2 2 1 1 0 0 1 1 0 2 1 3 ffffff 而函数的周期为 6 3383335 2 1 210101 335 2012 2 1 fffffL 答案应选 B 9 函数的图像大致为 解析 函数 xx x xf 22 6cos 22 6cos xf x xf xx 为奇函数 当0 x 且0 x时 xf 当0 x 且0 x时 xf 当 x xx 22 0 xf 当 x xx 22 0 xf 答案应选 D 10 已知椭圆 C 的离心率为 双曲线 x y 1 的渐近线与椭圆有四 个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16 则椭圆 c 的方程为 解 析 双 曲 线 x y 1 的 渐 近 线 方 程 为xy 代 入可 得 164 2 22 22 2 xS ba ba x 则 4 2222 baba 又由 2 3 e可得ba2 则 24 5bb 于是20 5 22 ab 椭圆方程为1 520 22 yx 答案应选 D 11 现有 16 张不同的卡片 其中红色 黄色 蓝色 绿色卡片各 4 张 从中任取 3 张 要求这 些卡片不能是同一种颜色 且红色卡片至多 1 张 不同取法的种数为 A 232 B 252 C 472 D 484 解析 472885607216 6 141516 4 1 12 2 4 3 4 3 16 CCCC 答案应选 C 另解 47212264220 2 1112 412 6 101112 3 2 12 1 4 3 4 3 12 0 4 CCCCC 12 设函数f x g x ax2 bx若 y f x 的图像与 y g x 图像有且仅有两 个不同的公共点 A x1 y1 B x2 y2 则下列判断正确的是 A 当 a 0 时 x1 x20 B 当 a0 y1 y20 时 x1 x2 0 y1 y20 时 x1 x2 0 y1 y2 0 解析 令bxax x 2 1 则 0 1 23 xbxax 设 23 bxaxxF bxaxxF23 2 令023 2 bxaxxF 则 a b x 3 2 要使 y f x 的图像与 y g x 图像有且仅有两个不同的公 共点只需1 3 2 3 2 3 2 23 a b b a b a a b F 整理得 23 274ab 于是可取3 2 ba来 研究 当3 2 ba时 132 23 xx 解得 2 1 1 21 xx 此时2 1 21 yy 此时 0 0 2121 yyxx 当3 2 ba时 132 23 xx 解得 2 1 1 21 xx 此时 2 1 21 yy 此时0 0 2121 yyxx 答案应选 B 另解 令 xgxf 可得bax x 2 1 设baxy x y 1 2 不妨设 21 xx a时如右图 此时 21 xx 即0 21 xx 此时0 21 即0 21 yy 同理可由图形经 过推理可得当0 a时0 0 2121 yyxx 答案应选 B 第 卷 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 若不等式的解集为 则实数 k 解析 由可得242 kx 即62 kx 而31 x 所以2 k 0 a baxy 0 nm nm nm 而二面角 F BD C 的平面角为锐角 则 二面角 F BD C 的余弦值为 5 5 19 本小题满分 12 分 现有甲 乙两个靶 某射手向甲靶射击一次 命中的概率为 命中得 1 分 没有命中得 0 分 向乙靶射击两次 每次命中的概率为 每命中一次得 2 分 没有命中得 0 分 该射手每次射击的 结果相互独立 假设该射手完成以上三次射击 求该射手恰好命中一次得的概率 求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX 解析 36 7 3 2 3 1 4 1 3 1 4 3 1 2 2 CP 5 4 3 2 1 0 X 9 1 3 2 3 1 4 1 2 12 1 3 1 4 3 1 36 1 3 1 4 1 0 1 2 22 CXPXPXP 3 1 3 2 4 3 5 9 1 3 2 4 1 4 3 1 3 2 3 1 4 3 3 221 2 XPXPCXP X 0 1 2 3 4 5 P 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 1 EX 0 36 1 1 12 1 2 9 1 3 3 1 4 9 1 5 3 1 12 5 3 12 41 20 本小题满分 12 分 在等差数列 an 中 a3 a4 a5 84 a9 73 求数列 an 的通项公式 对任意 m N 将数列 an 中落入区间 9m 92m 内的项的个数记为 bm 求数列 bm 的 前 m 项和 Sm 解析 由 a3 a4 a5 84 a5 73 可得 28 843 44 aa而 a9 73 则9 455 49 daad 127283 41 daa 于是899 1 1 nnan 即89 nan 对任意 m N mm n 2 9899 则89989 2 mm n 即 9 8 9 9 8 9 121 x p x x baQ 由 题意可知 4 p b 则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 p ppp b 4 3 242 3 4 解得1 p 于是抛物线 C 的方程为yx2 2 假设存在点 M 使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M 而 2 0 0 2 1 0 2 0 0 x xMOF 4 1 aQ QFOQMQ 16 1 4 1 2 22 2 02 0 a x ax 0 3 0 8 3 8 x x a 由yx2 2 可得xy 0 3 0 2 0 0 8 3 8 24 1 x x x xk 则 2 0 2 0 4 0 2 1 4 1 8 3 8 1 xxx 即02 2 0 4 0 xx 解得1 0 x 点 M 的坐标为 2 1 1 若点 M 的横坐标为2 则点 M 1 2 4 1 8 2 Q 由 4 1 2 2 kxy yx 可得0 2 1 2 2 kxx 设 2211 yxByxA 4 1 21 2 21 2 2 xxxxkAB 24 1 22 kk 圆 32 3 16 1 64 2 2 1 8 2 22 yxQ 22 18 2 1 8 2 k k k k D 1 8 23 1 3232 3 4 2 2 2 2 2 k k k k DE 于是 1 8 23 24 1 2 2 22 22 k k kkDEAB 令 5 4 5 1 2 tk 4 1 8 1 24 8 12 24 1 8 23 24 1 2 2 2 22 22 t tt t t tt k k kkDEAB 设 4 1 8 1 24 2 t tttg 2 8 1 28 t ttg 当 5 4 5 t时 0 8 1 28 2 t ttg 即当 2 1 4 5 kt时 10 1 4 4 1 4 5 8 1 4 5 2 16 25 4 min tg 故当 2 1 k时 10 1 4 min 22 DEAB 22 本小题满分 13 分 已知函数 f x x e kx ln k 为常数 e 2 71828 是自然对数的底数 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与 x 轴平行 求 k 的值 求 f x 的单调区间 设 g x x2 x fx 其中 fx为 f x 的导函数 证明