南昌大学第三届高等数学竞赛经济类试题及答案.doc

学院： 系别： 专业： 班级： 姓名： 学号： 考试日期： 2006年10月 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分181864 100得分考生注意事项：1、本试卷共 5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、 填空题(每小题3分，共18分) 得分评阅人 1、 设，曲线在点处的切线与轴的交点为，则 2、 设，则不可导点的个数为 3、 已知的一个原函数是，则 4、 若连续函数满足关系式，则 5、 设，则在处的15阶导数 6、 二次积分化为极坐标系下的积分式为 二、 选择题(每小题3分，共18分) 得分评阅人 南昌大学第三届高等数学竞赛卷（经济类）7、设、是恒正的可导函数，且，则当时，有（ ）（A） （B）（C） （D）8、已知在的某个邻域内连续，且，则在处，（ ）（A）不可导 （B）可导且 （C）取得极大值 （D）取得极小值9、设是已知的连续函数，（其中），则积分的值（ ）（A）依赖于 （B）依赖于（C）依赖于，不依赖于 （D）依赖于，不依赖于10、设在区间上，记，则（ ）（A） （B）（C） （D）11、设是变元的可微函数，是由方程所定义的隐函数，其中为常数，则有（ ）（A） （B）（C） （D）12、设为正项级数，则下列结论正确的是（ ）（A）若，则级数收敛；（B）若存在非零常数，使得，则级数发散；（C）若级数收敛，则；（D）若级数发散，则。三、 计算证明题 (共64分) 得分评阅人 13、（6分）设 其中有二阶连续导数，且，求；并讨论的连续性。14、（6分）设，求。15、（10分）设是周期为（）的连续函数，证明：16、（8分）某商品进价为元/件，根据以往的经验，当销售价为元/件时，销售量为件（、为正数，且）。市场调查表明，销售价每下降10，销售量增加40。现决定一次性降价，试问：当销售价定为多少时，可获得最大的利润，并求最大利润。17、（8分）设由方程确定，试求的极值。18、（8分）计算二重积分，其中D是由直线，和以及曲线所围的平面区域。19、（10分）求级数的收敛区间与和函数。20、（8分）设在上有连续的二阶导数，且对，试证：南昌大学第三届高等数学竞赛试题（经济类）解答一、填空题 1、；2、2；3、；4、；5、；6、二、选择题7、A；8、D；9、D；10、A；11、C；12、B；三、计算证明题13、由定义求所以 且在上连续。14、所以(或用二重积分计算)15、证：设则即是以为周期德连续函数。因而在定义域上有界。故即16、解：以表示降阶后德售价，为增加的销量，为总利润。则，或利润函数为令，解得（或由问题实际意义可得）是极大值点，此时17、解：将看成的函数，在方程两边分别对求偏导得 令，解得代入原方程得可能极值是，计算二阶偏导：在处，,在处取到极大值类似可得在处取到极小值18、解：记与轴所围成区域为则因为解2：用变换可以计算得所以，原式19、解：令并记原级数化为因为，故收敛半径，而级数在处发散，所以级数得收敛区间为在内，将原级数化为两级数，再求和第一个级数：第二个级数：令则， （因为） 而，故所求和函数为 20、证明：左端积分是一个暇积分，如果积分发散到，结论成立。以下设积分收敛：由假设，