2013年全国高考理科数学试题及答案-上海卷.pdf

2013 年上海市秋季高考理科数学 一 填空题 1 计算 20 lim 313 n n n 解答 根据极限运算法则 201 lim 3133 n n n 2 设mR 22 2 1 immm 是纯虚数 其中 i 是虚数单位 则 m 解答 2 2 20 2 10 mm m m 3 若 22 11 xxxy yy 则 xy 解答 22 20 xyxyxy 4 已知 ABC 的内角 A B C 所对应边分别为 a b c 若 222 32330aabbc 则角 C 的 大小是 结果用反三角函数值表示 解答 222222 2 32330 3 aabbccabab 故 11 cos arccos 33 CC 5 设常数aR 若 5 2 a x x 的二项展开式中 7 x项的系数为10 则 a 解答 25 15 2 5 71 rrr r a TCxrrr x 故 1 5 102C aa 6 方程 1 31 3 313 x x 的实数解为 解答 原方程整理后变为 2 3 32 38034log 4 xxx x 7 在极坐标系中 曲线cos1 与cos1 的公共点到极点的距离为 解答 联立方程组得 15 1 1 2 又0 故所求为1 5 2 8 盒子中装有编号为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的九个球 从中任意取出两个 则这两个球的编号 之积为偶数的概率是 结果用最简分数表示 解答 9 个数 5 个奇数 4 个偶数 根据题意所求概率为 2 5 2 9 13 1 18 C C 9 设 AB 是椭圆 的长轴 点 C 在 上 且 4 CBA 若 AB 4 2BC 则 的两个焦点之 间的距离为 解答 不妨设椭圆 的标准方程为 22 2 1 4 xy b 于是可算得 1 1 C 得 2 44 6 2 33 bc 10 设非零常数 d 是等差数列 12319 x xxxL的公差 随机变量 等可能地取值 12319 x xxxL 则 方差 D 解答 10 Ex 2 222222 981019 30 19 d Dd LL 11 若 12 cos cossin sin sin2sin2 23 xyxyxy 则sin xy 解答 1 cos 2 xy 2 sin2sin22sin cos 3 xyxyxy 故 2 sin 3 xy 12 设a为实常数 yf x 是定义在 R 上的奇函数 当0 x 时 2 971 a f xxa x 即6 8aa 又1a 故 8 7 a 13 在xOy平面上 将两个半圆弧 22 1 1 1 xyx 和 22 3 1 3 xyx 两条直线1y 和1y 围成的封 闭图形记为 D 如图中阴影部分 记 D 绕 y 轴旋转一周而成 的几何体为 过 0 1 yy 作 的水平截面 所得截 面面积为 2 418y 试利用祖暅原理 一个平放的圆 柱和一个长方体 得出 的体积值为 解答 根据提示 一个半径为 1 高为2 的圆柱平放 一 个高为 2 底面面积8 的长方体 这两个几何体与 放在 一起 根据祖暅原理 每个平行水平面的截面面积都相等 故它们的体积相等 即 的体积值为 22 122 8216 14 对区间 I 上有定义的函数 g x 记 g Iy yg xxI 已知定义域为 0 3 的函数 yf x 有反函数 1 yfx 且 11 0 1 1 2 2 4 0 1 ff 若方程 0f xx 有解 0 x 则 0 x 解答 根据反函数定义 当 0 1 x 时 2 4 f x 1 2 x 时 0 1 f x 而 yf x 的定义域为 0 3 故当 2 3 x 时 f x的取值应在集合 0 1 2 4 故若 00 f xx 只有 0 2x 二 选择题 15 设常数aR 集合 1 0 1 AxxxaBx xa 若ABR 则a的取值 范围为 A 2 B 2 C 2 D 2 解答 集合 A 讨论后利用数轴可知 1 1 1 a a 或 1 1 a aa 解答选项为 B 16 钱大姐常说 便宜没好货 她这句话的意思是 不便宜 是 好货 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 解答 根据等价命题 便宜 没好货 等价于 好货 不便宜 故选 B 17 在数列 n a中 21 n n a 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 i jijij aa aaa 1 2 7 1 2 12ij LL 则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 A 18 B 28 C 48 D 63 解答 21 ij i jijij aa aaa 而2 3 19ij L 故不同数值个数为 18 个 选 A 18 在边长为1的正六边形ABCDEF中 记以A为起点 其余顶点为终点的向量分别为 12345 a a a a a ur uu r uu r uu r uu r 以D为 起 点 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 12345 d d d d d uu r uu r uu r uu r uu r 若 m M分 别 为 ijkrst aaaddd uruu ruu ruu ruu ruu r 的最小值 最大值 其中 1 2 3 4 5 i j k 1 2 3 4 5 r s t 则 m M满足 A 0 0mM B 0 0mM C 0 0mM D 0 0mM uuu r uuuruuu r uuur 其余均有0 ir a d ur uu r 故选 D 三 解答题 19 本题满分 12 分 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AD 1 A1A 1 证明直线 BC1平行 于平面 DA1C 并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离 解答 因为 ABCD A1B1C1D1为长方体 故 1111 ABC D ABC D 故 ABC1D1为平行四边形 故 11 BCAD 显然 B 不在平面 D1AC 上 于是直线 BC1平行于平面 DA1C 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h 考 虑 三 棱 锥ABCD1的 体 积 以ABC为 底 面 可 得 111 1 2 1 323 V 而 1 ADC 中 11 5 2ACDCAD 故 1 3 2 AD C S 所以 1312 3233 Vhh 即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为 2 3 20 6 分 8 分 甲厂以 x 千克 小时的速度运输生产某种产品 生产条件要求110 x 每小时可 获得利润是 3 100 51 x x 元 1 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元 求 x 的取值范围 2 要使生产 900 千克该产品获得的利润最大 问 甲厂应该选取何种生产速度 并求最大利润 解答 1 根据题意 33 200 51 30005140 xx xx 又110 x 可解得310 x 2 设利润为y元 则 42 90031161 100 51 9 10 3 612 yx xxx 故6x 时 max 457500y 元 21 6 分 8 分 已知函数 2sin f xx 其中常数0 1 若 yf x 在 2 43 上单调递增 求 的取值范围 2 令2 将函数 yf x 的图像向左平移 6 个单位 再向上平移 1 个单位 得到函数 yg x 的图像 区间 a b a bR 且ab 根据题意有 3 42 0 24 32 进而证明原点不是 C1 C2型点 3 求证 圆 22 1 2 xy 内的点都不是 C1 C2型点 解答 1 C1的左焦点为 3 0 F 过 F 的直线3x 与 C1交于 2 3 2 与 C2交于 3 31 故 C1的左焦点为 C1 C2型点 且直线可以为3x 2 直线ykx 与 C2有交点 则 1 1 1 ykx kx yx 若方程组有解 则必须 1k 直线ykx 与 C2有交点 则 22 22 12 2 22 ykx kx xy 若方程组有解 则必须 2 1 2 k 故直线ykx 至多与曲线 C1和 C2中的一条有交点 即原点不是 C1 C2型点 3 显然过圆 22 1 2 xy 内一点的直线l若与曲线 C1有交点 则斜率必存在 根据对称性 不妨设直线l斜率存在且与曲线 C2交于点 1 0 t tt 则 1 1 0l ytk xtkxytkt 直线l与圆 22 1 2 xy 内部有交点 故 2 1 2 2 1 tkt k 化简得 22 1 1 1 2 ttkk 若直线l与曲线 C1有交点 则 222 2 2 1 1 2 1 1 10 21 2 ykxktt kxktkt xtkt x y 222222 1 4 1 4 1 1 0 1 2 1 2 ktktktkttktk 化简得 22 1 2 1 tktk 由 得 2222 1 2 1 1 1 1 2 kttkkk 但此时 因为 22 1 0 1 1 1 1 1 2 ttkk 定义函数 2 4 f xxcxc 数列 123 a a a L满 足 1 nn af anN 1 若 1 2ac 求 2 a及 3 a 2 求证 对任意 1 nn nNaac 3 是否存在 1 a 使得 12 n a aaLL成等差数列 若存在 求出所有这样的 1 a 若不存在 说明理 由 解答 1 因为0c 1 2 ac 故 2111 2 4 2af aacac 3122 2 4 10af aacacc 2 要证明原命题 只需证明 f xxc 对任意xR 都成立 2 4 f xxcxcxcxc 即只需证明2 4 xcxcxc 若0 xc 显然有2 4 0 xcxcxc 成立 若0 xc 则2 4 4xcxcxcxcxc 显然成立 综上 f xxc 恒成立 即对任意的 nN 1nn aac 3 由 2 知 若 n a为等差数列 则公差0dc