初中数学中考压轴题专题复习——综合知识的理解与应用.doc

一解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）1（10分）已知：如图，抛物线与x、y轴分别相交于A、B两点，将AOB绕着点O逆时针旋90到AOB，且抛物线y=ax2+2ax+c（a0）过点A、B（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线y=ax2+2ax+c的解析式；（3）点D在x轴上，若以B、B、D为顶点的三角形与ABB相似，求点D的坐标解答：解：（1）令=0，解得：x1=4，x2=2A点在x轴的负半轴，x2=2（舍去）A（4，0），点B是抛物线与y轴的交点，B（0，2）；（2）由题意得A（0，4），B（2，0），代入y=ax2+2ax+c得；（3）由题意有OBB=45，BBA=135，且，如果BDB=135，由于OBB=45，所以不可能；如果DBB=135，由于OBB=45，所以也不可能；若DBB=135，则点D在B的右侧当或时，BBD与ABB相似，得DB=2或DB=4，D（4，0）或D（6，0）2（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）将矩形OABC绕原点逆时针旋转90，得到矩形OABC设直线BB与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C、M、N解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将MON沿直线BB翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式解答：解：（1）四边形OABC是矩形，B（3，1），根据题意，得B（1，3）把B（3，1），B（1，3）代入y=mx+n中，解得 m=，n=此一次函数的解析式为：y=x+，N（0，），M（5，0）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把C（1，0），N（0，），M（5，0）代入得：，解得 ，二次函数的解析式为y=x2+2x+；（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，O、P关于直线MN对称，OPMN，OE=PE，PM=OM=5，N（0，），M（5，0），MN=，OE=，OP=2OE=2，OP=2，PM=5，联立，解得，把x=2代入二次函数的解析式y=x2+2x+得，y=，点P不在此二次函数的图象上；（3）在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，所以，二次项系数和一次项系数不变，根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，新解析式就为：y=x2+2x；在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为，这时根据已经求出的C（1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（6，0），代入解出解析式为y=x23x；当它向右移时要移一个单位C与原点重合，此时另一点过（6，0），所以解出解析式为y=x2+3x3（10分）在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），过点A作ABx轴，垂足为点B，AOB绕点O逆时针方向旋转90，得到MON（如图所示），若二次函数的图象经过点A、M、O三点（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果把这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象与y轴的交点为C，求tanACO的值；（3）在（2）的条件下，设新的二次函数图象的对称轴与x轴的交点为D，点E在这条对称轴上，如果BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1），求点E的坐标解答：解：（1）由旋转可知：点M的坐标为（1，1），设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c二次函数的图象经过点A、M、O三点，点A坐标为（1，1），这个二次函数的解析式为y=x2（2）将这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数的解析式为y=（x2）2二次函数y=（x2）2的图象与y轴的交点为C为（0，4），由旋转可知：点N的坐标为（0，1），连接AN在RtANC中，AN=1，CN=3，（3）由（2）得：新的二次函数y=（x2）2图象的对称轴为直线x=2根据题意：得点D的坐标为（2，0），可设点E坐标为（2，x），BOC=BDE=90如果BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似：当点E在x轴的上方时，如果，又BD=BO=1，容易知道BCO与BDE全等（舍去），如果，又BD=1，BO=1，OC=4，DE=x，所以点E的坐标为（2，）当点E在x轴的下方时，同理：可得到E的坐标为（2，）所以：当BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1）时，点E的坐标为（2，）或（2，）4（10分）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，0）和点B（3，2），点C是函数图象与y轴的公共点、过点C作直线CEAB（1）求这个二次函数的解析式；（2）求直线CE的表达式；（3）如果点D在直线CE上，且四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标解答：解：（1）二次函数的图象经过点A（4，0）和点B（3，2），解得，所求二次函数的解析式为（2）直线AB的表达式为y=2x8，CEAB，设直线CE的表达式为y=2x+m又直线CE经过点C（0，2），直线CE的表达式为y=2x2（3）设点D的坐标为（x，2x2）四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，即解得，x2=1（不符合题意，舍去）点D的坐标为（，）5（10分）已知在ABC中，A=45，AB=7，动点P、D分别在射线AB、AC上，且DPA=ACB，设AP=x，PCD的面积为y（1）求ABC的面积；（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长解答：解：（1）作CHAB，垂足为点H，设CH=m；，（1分）A=45，AH=CH=m；（1分）m=4；（1分）ABC的面积等于（1分）（2）AH=CH=4，DPA=ACB，A=A，ADPABC；（1分），即；（1分）作PEAC，垂足为点E；A=45，AP=x，；（1分）所求的函数解析式为，即；（1分）当D到C时，AP最大CPABCA=AP=定义域为0x；（1分）（3）由ADPABC，得，即；（1分）PCD是以PD为腰的等腰三角形，有PD=CD或PD=PC；（i）当点D在边AC上时，PDC是钝角，只有PD=CD；解得；（1分）（ii）当点D在边AC的延长线上时，（1分）如果PD=CD，那么解得x=16（1分）如果PD=PC，那么解得x1=32，（不符合题意，舍去）（1分）综上所述，AP的长为，或16，或326（10分）（2005漳州）如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解答：（1）解：由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为y=a（x1）2+4（a0）又抛物线经过点N（2，3），所以3=a（21）2+4，解得a=1所以所求抛物线的解析式为y=（x1）2+4=x2+2x+3令y=0，得x2+2x+3=0，解得：x1=1，x2=3，得A（1，0）B（3，0）；令x=0，得y=3，所以C（0，3）（2）证明：直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k=1，t=3，直线解析式为y=x+3令y=0，得x=3，故D（3，0），即OD=3，又OC=3，在直角三角形COD中，根据勾股定理得：CD=连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F设过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n，则，解得m=1，n=1所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1所以DCAN在RtANF中，AF=3，NF=3，所以AN=，所以DC=AN因此四边形CDAN是平行四边形（3）解：假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u0，则PA是圆的半径且PA2=u2+22过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切由第（2）小题易得：MDE为等腰直角三角形，故PQM也是等腰直角三角形，由P（1，u）得PE=u，PM=|4u|，PQ=由PQ2=PA2得方程：=u2+22，解得，舍去负值u=，符合题意的u=，所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）7（10分）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，BAD=60，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒（1）当点P在线段AO上运动时请用含x的代数式表示OP的长度；若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由解答：解：（1）由题意得BAO=30，ACBD，AB=2，OB=OD=1，OA=OC=，OP=，（2分）过点E作EHBD，则EH为COD的中位线，DQ=x，BQ=2x，y=SBPQ+SBEQ=（2x）（2x）+（2x），=；（3分）（2）能成为梯形，分三种情况：当PQBE时，PQO=DBE=30，即，x=，此时PB不平行QE，x=时，四边形PBEQ为梯形（2分）当PEBQ时，P为OC中点，AP=，即，此时，BQ=2x=PE，x=时，四边形PEQB为梯形（2分）当EQBP时，过E作EHDO，垂足为H，QEHBPO，x=1（x=0舍去），此时，BQ不平行于PE，x=1时，四边形PEQB为梯形（2分）综上所述，当x=、或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形8（10分）（2008乌鲁木齐）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在C上（1）求ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由解答：解：（1）作CHx轴，H为垂足，CH=1，半径CB=2，BCH=60，ACB=120（2）CH=1，半径CB=2HB=，故A（1，0），B（1+，0）（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）设抛物线解析式y=a（x1）2+3，把点B（1+，0）代入上式，解得a=1；y=x2+2x+2（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形PCOD且PC=ODPCy轴，点D在y轴上又PC=2，OD=2，即D（0，2）又D（0，2）满足y=x2+2x+2，点D在抛物线上所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分9（10分）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P（1）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）求证：BFAB；（3）连接CP，记CPF的面积为S1，CPB的面积为S2，若S=S1S2，试探究S的最小值解答：（1）解：令x=0，得y=4，C（0，4），令y=0，得x1=4，x2=4，A（4，0），B（4，0），OA=OB=OC，ABC是等腰直角三角形；（2）证明：如图，ABC是等腰直角三角形，CDEF是正方形，AC=BC，CD=CF，ACD=BCF，ACDBCF，CBF=CAD=45，ABF=ABC+CBF=90，BFAB（3）解：CDE=90，CDO+PDB=90，CDO+DCO=90，DCO=PDB，DCOPDB，设OD=x，BP=y，则，BF=AD=4+x，=x22x+8=（x1）2+7，当OD=x=1时，S有最小值710（10分）已知二次函数y=x2+（k+1）xk的图象经过一次函数y=x+4的图象与x轴的交点A（如图）（1）求二次函数的解析式；（2）求一次函数与二次函数图象的另一个交点B的坐标；（3）若二次函数图象与y轴交于点D，平行于y轴的直线l将四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，则直线l截四边形ABCD所得的线段的长是多少？（直接写出结果）解答：解：（1）由y=x+4，得A（4，0），又二次函数图象经过点A，则0=16+4（k+1）k，解得k=4，所以二次函数解析式为y=x2+5x4（2）由，解得，所以点B的坐标为（2，2）（3）令y=0代入二次函数得x=1或x=4，则C点坐标为（1，0）令x=0代入2此函数得y=4，则D点坐标为（0，4）四边形面积为：（41）2+（41）4=9，若直线在点B的左侧，令平行于y轴的直线交BC于E，交CA于F，交AD于G，求得BC的函数为y=2x2则=，同理求得AD的函数为y=x4，AF=FG，设CF=a0，则EF=2a，AF=3a，FG=3a，SEFC+S四边形FCDG=SEFC+S梯形OFGDSOCD=a2a+（3a+4）（a+1）14=，解得：a=0（舍去）；若直线在点B的左侧，令平行于y轴的直线交AB于E，交CA于F，交AD于G，求得AB的函数为y=x+4，则EF=FA，同理求得AD的函数为y=x4，AF=FG，设AF=a0，则EF=a，AF=a，FG=a，SEFC+SAFG=aa+aa=，解得：a=，EG=3故线段长为311如图，已知抛物线的方程C1： (m0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由（1）将M(2, 2)代入，得解得m4（2）当m4时，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当H落在线段EC上时，BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P，那么因此解得所以点H的坐标为（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当，即时，BCEFBC设点F的坐标为，由，得解得xm