高三数学第一学期平面及其基本性质.doc

141 平面及其基本性质 一、教学内容分析本节的重点是平面的概念、平面的画法，点、线、面的位置关系的集合语言表示法.集合语言是学生比较熟悉的内容，而点、线、面是学生刚刚接触不太熟悉的内容，用已知的知识来表示未知的内容，更有利于学生接受和掌握新知识，也让学生更清楚的明确点、线、面的关系.但要注意的是，这里仅是借用集合语言来表示点、线、面的关系，而并不完全等同于集合中的相应关系，如a=A就是一个例子.本节的难点是平面的概念、平面的画法.“平面”没有具体的定义，它的概念是现实中平面形象抽象的结果，所以，可以从学生之前学习的点、直线的概念入手，让学生理解平面的“平，没有厚度，在空间无限延伸”的特点.通过对平面概念的理解以及动手在纸上划出一个或几个平面的过程，初步认识平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，为以后解决空间一些基本直线和平面之间的位置关系打下基础.二、教学目标设计理解平面的概念，能画出平面和用字母表示平面，掌握用集合符号表示点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系；培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点平面的概念、平面的画法，点、线、面的位置关系的集合语言表示法.四、教学流程设计立几发展史引入平面的概念平面的画法集合语言表示法运用与深化(例题解析、巩固练习)课堂小结并布置作业五、教学过程设计 一、立体几何发展史立体几何在生活中无处不在；本章研究空间中的直线和平面，是处理空间问题、形成空间想象能力的基础.二、讲授新课（一）平面定义：平面是平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形.数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果.比如平静的湖面、桌面等.平面的表示方法：（1）用大写的英文字母表示：平面M，平面N等；（2）用小写的希腊字母表示：平面，平面等；（3）用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示：（如图14-1）平面ABCD等.图14-1平面的直观图画法： 正视图 垂直放置的平面M 水平放置的平面M 图14-2相交平面画法注意：看得见的线用实线，看不见的线用虚线.（二）空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法在空间，我们把点看作元素，直线和平面看作是由元素点所组成的集合，建立了如下点、线、面的集合语言表示法.点与线：点A在直线L上：（直线L经过点A）；点Q不在直线L上：点与平面：点A在平面内：（平面经过点A）；点B不在平面内：；直线与平面：直线L在平面上：直线L上所有的点都在平面上，即直线L在平面上，或平面经过直线L，记作.直线L在平面外：Al当直线L与平面只有一个公共点A时，称直线L与平面相交于点A，记作；当直线L与平面没有公共点时，称直线L与平面平行，记作或.直线与直线：A直线a与直线b相交于点A，记作.平面与平面：当平面上所有的点都在平面上时，称平面与平面重合；当不同的两个平面与有公共点时，将它们的公共点的集合记为L，称平面与平面相交于L，记作.当两个平面与没有公共点时，称平面与平面平行，记作或.（三）例题解析例1观察下面图形，说明它们的摆放位置不同解：我们看到了这个几何体的前后两个面. 说明培养学生的空间想象能力.例2 正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面，分别记作，试用适当的符号填空. 解： 说明能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.例3 ：根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形.解：（1）点A在平面内，点B不在平面内；（2）直线L在平面上，直线m在平面外；（3）平面交平面与直线L； （4）点P在直线L上，不在平面上；点Q在直线L上，也在平面上.三、课堂小结1.平面的定义；2.平面及相交平面的画法；3.集合语言在平面中的使用；四、课后作业练习14.1（1）1五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生了解平面的概念，以及空间点、线、面的基本关系及其表示.对于学生而言，初中时已学过平面中点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系.而这节课可以利用类比的方法从学生熟悉的知识引出学生还比较陌生的知识，把平面问题扩展到空间；利用生活中的熟悉的情景问题来说明空间中的点、线、面的基本关系，把生活与学习联系在了一起.本节课通过对平面概念，和点线面基本关系及其表示的学习，引导学生把平面知识扩展到空间，培养学生的空间想象能力！141 （2）平面及其基本性质 一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计 一、讲授新课（一）公理1如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上.（直线在平面上）用集合语言表述：（二）公理2如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线.（平面与平面相交）用集合语言表述：（三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A，B，C不共线=A，B，C确定一个平面推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面.证明：设A是直线外的一点，在直线上任取两点B和C，由公理3可知A，B和C三点能确定平面.又因为点，所以由公理1可知B，C所在直线，即平面是由直线和点A确定的平面.用集合语言表述：推论2：两条相交的直线确定一个平面.用集合语言表述：推论3：两条平行的直线确定一个平面.用集合语言表述：（四）例题解析例1如图，正方体中，E，F分别是的中点，问：直线EF和BC是否相交？ 如果相交，交点在那个平面内？ 解：又，则直线EF和BC共面；设直线EF和BC相交于点p，则p在直线BC上，即点P在平面ABCD上.说明利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若，求证：直线C必过点P.解： 结论三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.说明公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面；四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.说明推论2的简单应用.例5 如图，AB/CD，求作BC与平面的交点.解：连接EF和BC，交点即为所求BC与平面的交点.（公理3和公理2）说明推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.14.1（3）平面及其基本性质 一、教学内容分析本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个公理三个推论进行证明.公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线.它的作用是：确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线.判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可.判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上.公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.二、教学目标设计 理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力.三、教学重点及难点利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题四、教学流程设计运用与深化例题解析复习三个公理三个推论共面问题共点问题共线问题课堂小结，并布置作业五、教学过程设计 （一）复习上节课的概念，三个公理三个推论1）若，则（ A ） A、 B、 C、 D、2）判断若直线a与平面有公共点，则称. （） 两个平面可能只有一个公共点. （） 四条边都相等的四边形是菱形. （）若A、B、C，A、B、C，则重合. （）若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （） 两两相交的三条直线必定共面. （）3）下列命题正确的是（ D ）A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.C、三条互相平行的直线一定共面.D、梯形是平面图形.4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ）A、8个 B、9个 C、10个 D、12个5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分.（二）证明1、共面问题例1 已知直线两两相交，且三线不共点. 求证：直线在同一平面上.证明：设 【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法.归一法：先根据公理3或其推论确定一个平面，然后再利用公理1证明其他的点或直线在这个平面内.练习：例2 已知直线与三条平行直线a,b,c都相交，求证：与a、b、c共面.解题策略：同一法证明：如图设 可确定一个平面 图（例3）【说明】同一法：可先由已知条件分别确定平面，然后再证它们是重合的2、三点共线【说明】要证明空间三点共线的方法：将线看做两平面的交线，只需证明这三点都是两个平面的公共点，则公共点必定在两平面的交线上，因此三点共线.例4 已知在平面外，.ABCRPQ 求证：P、Q、R三点共线 证： 3、三线共点ABCDEFGHQ【说明】先确定2条直线的交点，再证另一直线也过该交点（三）布置作业书上第4页1、2、3六、教学设计说明本节课从复习三个公理三个推论的概念导入，通过对例题的剖析讲解，开展研究和证明.例题设计主要围绕解决三个问题：(1）证明共面问题，可以采用归一法和同一法这两种证明方法.(2）证明三点共线问题，熟练掌握公理2.(3）证明三线共点问题14.1（4）平面及其基本性质 一、教学内容分析本节课的重点是利用三个公理三个推论作图.在上一节证明课的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个公理三个推论进行作图，作图的过程实质上就是证明的过程.作图重点利用是公理2，公理说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线.它的作用是：确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线.判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可.判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上.二、教学目标设计理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决和画出面与面的交线.三、教学重点及难点利用三个公理三个推论作图，画面与面的交线或截面.复习三个公理三个推论例题解析课堂练习课堂小结，布置作业四、教学流程设计五、教学过程设计 （一）讲授新课例1 已知：，画出过A、B、C三点的平面的交线CABlD解： 分析：练习： 1） 画出过画出过A、B、C三点的平面的交线2） 画出过画出过A、B、C三点的平面M与的交线ABCBCABCDPQRO 例2 如图，P、Q、R分别是空间四边形ABCD的边AB、AD、BC上的点，且PQ与BD不平行，画出平面PQR与平面BCD的交线.例3 在长方体中，画出1) 平面的交线ABCDE F 2) 平面的交线ABCDO分析：1） OD即为平面的交线2） EF即为平面的交线例4 在正方体ABCDABCD中的棱AB，BB，DC分别有三点.1） M、P、N过三点作截面，确定其与各平面的交线;2） 正方体中，画出过其中三条棱的重点P、Q、R的平面截正方体的截面.例5、M、N、P分别为CD，AD，CC的中点.1） 过MNP三点作正方体的截面，画出截面;G2） 计算截面的周长.1）截面为M