二一般形式的柯西不等式.docx

二一般形式的柯西不等式学习目标1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.2.会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值知识链接1在空间向量中，有|，据此如何推导三维的柯西不等式的代数形式答案设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则a1b1a2b2a3b3代入向量式得：(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.当且仅当共线时，即0，或存在一个数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立2在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？答案不可以不仅仅当aikbi(i1,2，n)时，等号成立，当bi0(i1,2，n)时等号也成立预习导引1三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3R，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.当且仅当b1b2b30或存在一个数k，使得a1kb1，a2kb2，a3kb3时，等号成立2一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaaa)(bbbb)(a1b1a2b2a3b3anbn)2，当且仅当bi0(i1,2,3，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2,3，n)时，等号成立.要点一利用柯西不等式证明不等式例1设a，b，c为正数且互不相等，求证：.证明2(abc)(ab)(bc)(ca)()2()2()22(111)29.a，b，c互不相等，等号不可能成立，从而原不等式成立规律方法有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的跟踪演练1若x，证明3.证明由柯西不等式可得：18(12x)(3x)(23x)(111)(111)2当且仅当，即x2且x且x时取等号，所以等号不可能成立所以3.要点二利用三维柯西不等式求函数的最值例2已知a，b，cR且abc1，求的最大值解111(4a14b14c1)(121212).当且仅当时取等号即abc时，所求的最大值为.规律方法利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧，变形为能利用柯西不等式的形式跟踪演练2已知a，b，cR，且abc1，求的最大值解根据柯西不等式，可得()2(111)2(121212)()2()2()233(abc)318.当且仅当，即abc时，()2的最大值为18.因此，的最大值为3.要点三一般形式柯西不等式的应用例3设a1，a2，an为正整数，求证：a1a2an.证明由柯西不等式，得(a2a3a1)2(a1a2an)2，故a1a2an.规律方法柯西不等式的应用：柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，但我们在使用柯西不等式解决问题时，往往不能直接应用，需要先对式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的目的在应用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而且要善于构造，技巧如下：巧拆常数；重新安排某些项的次序；结构的改变从而达到使用柯西不等式；添项跟踪演练3已知a、b、c、dR，且abcd1，求证：a2b2c2d2.证明根据柯西不等式，有(a2b2c2d2)(12121212)(abcd)21，a2b2c2d2.当且仅当abcd时，等号成立此时，a2b2c2d2取到最小值.1已知x3y5z6，则x2y2z2的最小值为()A. B. C. D6答案C 解析x3y5z6，(x2y2z2)(123252)(x3y5z)236，(x2y2z2).2已知x，y，zR，且xyz1，则的最小值为()A24 B30C36 D48答案C解析利用柯西不等式，(xyz)236，36，当且仅当x2y2z2，即x，y，z时等号成立3已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为_答案解析4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，即644e26416ee2.5e216e0，故0e.4已知x22y23z2，求3x2yz的最大值解(x22y23z2)2(3x2yz)2，(3x2yz)2(x22y23z2)12.3x2yz2.当且仅当y3z时等号成立，此时3x2yz的最大值为2.1.柯西不等式的一般结构为(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题2要求axbyz的最大值，利用柯西不等式(