高中数学必修2-第二章点直线平面之间的位置关系预习(教师版).doc

高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系预习（教师版）一、空间点、直线、平面的位置关系1、平面（1）画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长DCBA 如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画。a（2） 平面的表示方法：通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 A D B CB(3)平面的点：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。A点A在平面内，记作：A点B在平面外，记作：B （4）平面的基本性质：无限延展性（5）公理（用尺子在桌面上移动引入）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内a点A在直线a上，记作Aa；点A在直线a外，记作Aa；点A在平面内，记作A；点A在平面外，记作A；直线a在平面内，记作a；直线a在平面外，记作a公理1用集合符号表示为：Aa，Ba，A，B，则有例1：证明如果一个三角形的两边在一个平面内，那么第三边也在这个平面内注意：在分析过程中，一定要强调“要证明直线在平面内，则应该证明什么？条件中有没有，没有如何去创造”通过这种逆推思路的分析，培养学生良好的思考习惯课堂练习1：判断下列命题的真假 如果一条直线不在平面内，则这条直线与平面没有公共点（ X ） 过一条直线的平面有无数多个（V ） 与一个平面没有公共点的直线不存在（X） 如果线段AB在平面内，则直线AB也在平面内a（V）（扇门用两个合页和一把锁就可以固定了）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（如图14-3）推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面（如图14-6）类似地可以得出下面两个推论：推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面（如图14-7）推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面（如图14-8）（将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题：能否说这两个平面只有一个公共点？）公理3如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线（如图14-5）公理3的数学符号语言：P，P a，Pa 课堂练习2：判断下列命题的真假如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上（V）两个平面的公共点的集合可能是一条线段 （ X ）例2：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内（如图14-9）已知：ABACA，ABBCB，ACBCC求证：直线AB，BC，AC共面证法1：因为ABACA，所以直线AB，AC确定一个平面（推论2）因为BAB，CAC，所以B，C，故BC（公理1）因此，直线AB，BC，CA都在平面内，即它们共面证法2：因为A直线BC，所以过点A和直线BC确定平面（推论1）因为A，BBC，所以B故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面证法3：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面（公理2）因为A，B，所以AB（公理1）同理BC，AC，所以AB，BC，CA三直线共面思考：在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？（不能，如果三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以不共面）2、 空间中直线与直线的的关系（1）同一平面内的两条直线位置关系有哪些？（平行、相交）（2）空间的两条直线有哪些位置关系呢？（1）、空间的两条直线有如下三种关系：共面直线：直线：相交：同一平面内，有且只有一个公共点 平行：同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点例1：判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗? 1 2 3 4 5 6（2）平行公理：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。=acabcb（3）等角定理：等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线aa、bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。结论： a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， ； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。3、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系（1）直线与平面的位置关系 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线在平面平行 没有公共点（2） 平面与平面之间的位置关系 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有且只有一条公共直线教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行例题： 1、用符号表示下列语句。（1）直线经过平面外一点M。（2）平面与平面相交于直线a，直线b在内，且与a交于C。2、已知下列四个命题：（1）三点确定一个平面；（2）若点P不在平面内，A、B、C三点都在平面内，则P、A、B、C四点不在同一个平面内；（3）两两相交的三条直线在同一平面内；（4）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。其中正确命题的个数是（A）。（A）0 （B）1 （C）2 （D）33、如图，已知正方体ABCD-ABCD（1）哪些棱所在直线与直线B A是异面直线？（2）直线B A与CC的夹角是多少？（3）哪些棱所在直线与直线AA垂直？巩固练习：1、判断下列说法是否正确？（1）平行四边形是一个平面。（X）（2）一个平面长是4cm，宽是2cm。(X) (3)一个平面把空间分成两部分。（V）（4）地球表面是一个平面。（X）（5）一条直线把它所在的平面分成两部分。（V）（6）四边形是平面图形。（X）2、根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：（1）(3)3、如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =, AD =, AE = 2(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?GFHEBCDA(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?解答：(1) 450 (2) 6002、 直线、平面平行的判定及其性质1、 直线与平面平行的判定（投影问题）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a B = aa b2、 平面与平面平行的判定(1） 平面内有一条直线与平面平行，、平行吗？(2） 平面内有两条直线与平面平行，、平行吗？两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：3、 直线与平面的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：4、平面与平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：例题：1.下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）.一个平面内的一条直线平行于另一个平面一个平面内的两条直线平行于另一个平面一个平面内有无数条直线平行于另一个平面一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案 2.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN平面AA1C1.证明 设A1C1中点为F，连接NF，FC，N为A1B1中点，NFB1C1，且NF=B1C1，又由棱柱性质知B1C1 BC，又M是BC的中点，NF MC，四边形NFCM为平行四边形.MNCF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，MN平面AA1C1.巩固练习：1.已知直线a,b,平面，则以下三个命题：若ab,b,则a;若ab,a,则b;若a,b,则ab.其中真命题的个数是 .答案 02.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.证明 方法一 分别过E，F作EMAB于M，FNBC于N，连接MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，FNBB1，EMFN.又B1E=C1F，EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形，EFMN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF平面ABCD.方法二 过E作EGAB交BB1于G，连接GF，则，B1E=C1F，B1A=C1B，FGB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD.三、直线与平面垂直的判定及其性质1、直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。2、平面与平面垂直的判定（1）二面角的度量：以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。（2）一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直3、直线与平面垂直的性质垂直于同一个平面的两条直线平行。4、 平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。例题：1若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（ B ） A有且只有个 B可能存在也可能不存在 C有无数多个 D定不存在2.如图，在长方体AC1中，已知ABBCa，BB1b（ba），连结BC1，过Bl作B1BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC平面EBlD1证明：AB面B1C，BC1为AC1在平面B1C上的射影，且B1EBC1，由三垂线定理知B1EAC1又AA1面A1C1，ABBC，A1C1B1D1，A1C1是AC1在面A1C1上的射影由三垂线定理得AC1B1D1又B1EB1D1B1，AC1平面EB1D1巩固练习：1.在空间，下列哪些命题是正确的（ B ） 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 平行于同一个平面的两条直线互相平行； 垂直于同个平面的两条直线互相平行 A仅不正确 B仅、正确 C仅正确 D四个命题都正确 2.如图在ABC中，已知ABC90，SAABC所在平面，又点A在SC和SB上的射影分别是P、Q求证：PQSC17证明：SA面ABC，BC面ABC，SABC又ABBC且SAABA，BC面SAB，AQ面SABBCAQ，又AQSB，BCSBBAQ面SBCPQ是斜线AP在平面SBC上的射影，又AQSC，由三垂线定理的逆定理可得PQSC 课后练习判断下列说法是否正确？（7）四边相等的四边形是平面图形。（X）。（8）三角形是平面图形。（V）（9）圆是平面图形。（V）（10）平面是绝对的平滑、无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。（V）（11）空间三点确定一个平面。（X）（12）平面与平面若有公共点，就不止一个。（V）（13）若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形。（X）9、将一个西瓜切三刀，最多可切a块，最少可切b块，则a-b等于_ （答：4）（1）分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_。(相交，平行、异面)（2）不平行的两条直线的位置关系是_（相交或异面）（3）直线a和b是异面直线，直线c/a，那么b与c的位置关系是_（相交或异面）（4）两条直线没有公共点，它们的位置关系是_（平行或异面）2.一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ D ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.可能相交、可能平行、可能异面3.已知a、b是异面直线，ca，那么c与b（C） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C. 不可能是平行直线 D.不可能是相交直线3.对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是 （填序号）.若m，mn，则n若m，n，则mn若m，n，则mn若m、n与所成的角相等，则mn答案 例2 已知P为ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是PAB、PCB、PAC的重心.（1）求证：平面G1G2G3平面ABC；（2）求SSABC.（1）证明 如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1PD=23， PG2PE=23，G1G2DE.又G1G2不在平面ABC内，G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因为G1G2G2G3=G2，平面G1G2G3平面ABC.（2）解 由（1）知=，G1G2=DE.又DE=AC，G1G2=AC.同理G2G3=AB，G1G3=BC.G1G2G3CAB，其相似比为13，SSABC=19.例3 （16分）如图所示，平面平面，点A，C，点B，D,点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEB=CFFD.（1）求证：EF;（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长.（1）证明 当AB，CD在同一平面内时，由，平面平面ABDC=AC，平面平面ABDC=BD，ACBD，2分AEEB=CFFD，EFBD，又EF,BD,EF.4分当AB与CD异面时，设平面ACD=DH，且DH=AC.，