高中数学教学论文空间向量解立体几何.doc

“桥”飞架，天堑变通途向量的引入为数形结合思想注入了新鲜血液，为其开辟了更为广阔的天地。特别是将空间向量知识应用在立体几何题目中，更是一改立体几何题目以前单一的传统几何法,给我们以耳目一新的感觉.下面通过一个题的不同问题，领会空间向量中”直线的方向向量”和”平面的法向量”在解立体几何题目中的独到应用。例题 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是 A1C1的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD1的中点。 z B1 C1D1 B P M A1 QCyA Dx一 求点线距离问题1：求点M到直线PQ 的距离。分析：本题属于立体几何中求点与线距离类型，若用传统几何法需过点M引直线PQ的垂线，在图中寻找垂线不是件容易事情，而用向量法就可使问题得以解决。解：如图，以点B为坐标原点，分别以，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。得P（0，4，0），Q（4，6，2），M（2，3，4）=（-2，-3，2） =（-4，-2，-2）又点M到直线PQ的距离d=|sin 而cos=sin=,d=小结：本例充分体现了利用直线QP的一个方向向量、M到直线QP的距离及斜线段QM所构成的直角三角形，借助于向量与的夹角公式使问题得以解决，而不必将点线之间的距离作出,请读者加以体会。二 求点面距离问题2 ：求点M到平面AB1P的距离。分析：采用几何法做出点面距，然后来求距离的传统法，很难求解，但若借助于平面的法向量即易解决。解：建系同上。A(4,0,0) =(-2,3,4) =(-4,4,0) =(-4,0,4)设 =(x,y,z)是平面AB1P的一个法向量,则, 可取=(1,1,1)点M到平面AB1P的距离d=|=.小结:点面距离的向量求法为:设是平面的一个法向量,AB是平面的一条斜线, 则点B到平面的距离为d=|. 三 求线面夹角问题3:求直线AM与平面AB1P所成的角.解: 建系同上。由问题2可知=(-2,3,4), 平面AB1P的一个法向量=(1,1,1)|cos|=|=,又直线AM与平面AB1P所成的角为线AM与平面AB1P的法向量夹角的余角,故直线AM与平面AB1P所成的角为arcsin.小结:本例属于线面成角问题,向量法求解的方法是:设为平面的一个法向量,是直线L的方向向量,则直线L与平面所成的角为arcsin|.四 求面面所成的角(二面角)问题4:求平面B1PQ与平面D1DCC1所成的锐二面角的大小.解:面D1DCC1垂直与坐标平面yoz,故设面D1DCC1的一个法向量为=(0,1,0),又设面B1PQ的一个法向量为=(x,y,z)=(0,4,-4), =(4,2,2)又, 即可取(-1,1,1)|cos|=|=.故平面B1PQ与平面D1DCC1所成的锐二面角的大小为arccos.小结:用向量法求二面角的具体方法是:设,是二面角-L-的两个半平面, 的法向量,则=arccos|就是所求二面角的平面角或其补角. 五 求两异面直线间的距离问题5:求两异面直线AB1与PQ 间的距离.解:设两异面直线AB1与PQ的公垂线的一个方向向量为=(x,y,z)又=(-4,0,4), =(4,2,2).而, 即=(1,-3,1),又=(0,4,-4)故两异面直线AB1与PQ 间的距离d=|cos=|=.小结:向量法解决两异面直线间的距离的作法是:L1,L2是两条异面直线, 是L1,L2的公垂线AB的一个方向向量,又C,D分别是L1,L2上任两点,则|AB|=|.以上介绍了直线的方向向量和平面的法向量在解决立体几何的“点线距离”,“点面距离”,“线面夹角”,“面面成角”以及“两异面直线间的距离”这五种题型中的应用, 涉及的题目用传统立体几何法求解有一定的难度, 而空间向量的介入使得问题迎刃而解.从中充分展现了向量法的独到之处和强大威力.在近几年的高考中利用向量的