人教A版 必修2 第一课 空间几何体及点、线、面的位置关 学案.docx

阶段复习课第一课 空间几何体及点、线、面的位置关系核心速填1柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式 面积体积圆柱s侧2rhvshr2h圆锥s侧rlvshr2hr2圆台s侧(r1r2)lv(s上s下)h(rrr1r2)h直棱柱s侧chvsh正棱锥s侧chvsh正棱台s侧(cc)hv(s上s下)h球s球面4r2vr32空间中线线关系空间中两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情况两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况(1)证明线线平行的方法线线平行的定义；公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；线面平行的性质定理：a，a，bab；线面垂直的性质定理：a，bab；面面平行的性质定理：，a，bab.(2)证明线线垂直的方法 线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角(在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线)；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.3空间中线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种(1)证明直线与平面平行的方法线面平行的定义；判定定理：a，b，aba；平面与平面平行的性质：，aa.(2)证明直线与平面垂直的方法线面垂直的定义；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性质定理：，aa；面面垂直的性质定理：，l，a，ala.4空间中面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种(1)证明面面平行的方法面面平行的定义； 面面平行的判定定理：a，b，a，b，aba；线面垂直的性质定理：a，a；公理4的推广：，.(2)证明面面垂直的方法面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；面面垂直的判定定理：a，a.体系构建题型探究空间几何体的表面积与体积 (1)已知梯形abcd中，adbc，abc90，ada，bc2a，dcb60，在平面abcd内，过点c作lcb，以l为轴将梯形abcd旋转一周，求旋转体的表面积图11 (2)如图12，已知四棱锥pabcd的底面为等腰梯形，abcd，acbd，垂足为h，ph是四棱锥的高若ab，apbadb60，求四棱锥pabcd的体积图12解 (1)如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥在直角梯形abcd中，ada，bc2a，ab(2aa)tan 60a，dc2a.又dddc2a，s表s圆环s圆柱侧s圆cs圆锥侧(2a)2a222aa(2a)2a2a(94)a2.(2)因为abcd为等腰梯形，abcd，acbd，ab，所以hahb.因为apbadb60，所以papb，hdhctan 301.可得ph，等腰梯形abcd的面积为sacbd2.所以四棱锥的体积为v(2).规律方法 空间几何体表面积、体积的求解策略(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积.即切割法的应用.提醒：在由三视图还原几何体时，几何体一般可由长方体切割而得到.跟踪训练164个半径都为的球，记它们的体积之和为v甲，表面积之和为s甲；一个半径为a的球，记其体积为v乙，表面积为s乙，则( )av甲v乙且s甲s乙bv甲v乙且s甲s乙dv甲v乙且s甲s乙c 64个半径都为的球，它们的体积之和为v甲643a3，表面积之和为s甲644216a2；一个半径为a的球，其体积为v乙a3，表面积为s乙4a2，所以v甲v乙且s甲s乙，故选c.2已知圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为_100 设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，母线长为10，有102(4r)2(4rr)2，解得r2，s圆台侧(r4r)10100.与球有关的切接问题 (1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积s1和球的表面积s2之比为( )a43 b31 c32 d94(2)已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a，求它的外接球的体积(1)c 画出轴截面如图所示，设球的半径为r.则odr，po2r，pdo90，cpb30，又pcb90，cbpcr，pb2r，圆锥的侧面积s16r2，球的表面积s24r2，s1s232.(2)如图，作pe垂直底面abcd于e，则e在ac上设外接球的半径为r，球心为o，连接oa，oc，则oaocop，o为pac的外心，即pac的外接圆半径就是球的半径abbca，aca.papcaca，pac为正三角形，r2a，v球r3a3.规律方法 与球有关的切接问题的求解策略解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的. 跟踪训练3(1)如图7，直三棱柱abca1b1c1的六个顶点都在半径为1的半球面上，abac，侧面bcc1b1是半球底面圆的内接正方形，则侧面abb1a1的面积为 ( ) 图7a2 b1 c d (2)设a，b，c，d是球面上的四点，ab，ac，ad两两互相垂直，且ab3，ac4，ad，则球的表面积为( ) a36 b64 c100 d144(1)c (2)a (1)连接bc1，b1c，交于点o，则o为面bcc1b1的中心由题意知，球心为侧面bcc1b1的中心o，bc为截面圆的直径，所以bac90，则abc的外接圆圆心n位于bc的中点，同理，a1b1c1的外接圆圆心m位于b1c1的中点，设正方形bcc1b1的边长为x，在rtomc1中，om，mc1，oc1r1(r为球的半径)，所以1，即x，即abac1，所以侧面abb1a1的面积为1，选c.(2)三棱锥abcd的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它和三棱锥abcd的外接球是同一个，且体对角线的长为球的直径，若设球的半径为r，则2r6，故r3，外接球的表面积s4r236，故选a.空间点、线、面位置关系的判断与证明如图8，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，efac，ab，ceef1.图8(1)求证：af平面bde；(2)求证：cf平面bde. 【导学号：07742185】证明 (1)设ac与bd交于点o，连接eo，如图所示，efac，且ef1，aoac1，四边形aoef为平行四边形，afoe.oe平面bde，af平面bde，af平面bde.(2)连接fo，如图所示efco，efco1，且ce1，四边形cefo为菱形，cfeo.四边形abcd为正方形，bdac.又平面acef平面abcd，且平面acef平面abcdac，bd平面acef，cfbd.又bdeoo，cf平面bde.规律方法 空间平行、垂直关系的转化(1)平行、垂直关系的相互转化(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点由已知想性质，由求证想判定适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论跟踪训练4如图9所示，pa平面abc，点c在以ab为直径的o上，点e为线段pb的中点，点m在上，且omac.图9(1)求证：平面moe平面pac；(2)求证：平面pac平面pcb.证明 (1)因为点e为线段pb的中点，点o为线段ab的中点，所以oepa.因为pa平面pac，oe平面pac，所以oe平面pac.因为omac，ac平面pac，om平面pac，所以om平面pac.因为oe平面moe，om平面moe，oeomo，所以平面moe平面pac.(2)因为点c在以ab为直径的o上，所以acb90，即bcac.因为pa平面abc，bc平面abc，所以pabc.因为ac平面pac，pa平面pac，paaca，所以bc平面pac.因为bc平面pcb，所以平面pac平面pcb.空间角的求法 如图10，正方体abcdabcd的棱长为1，bcbco，求：(1)ao与ac所成角的大小；(2)ao与平面abcd所成角的正切值；(3)平面aob与平面aoc所成角的大小. 图10解 (1)acac，ao与ac所成的角就是oac.ocob，ab平面bccb，ocab.又abbob，oc平面abo.又oa平面abo，ocoa.在rtaoc中，oc，ac，sinoac，oac30.即ao与ac所成的角为30.(2)如图，作oebc于e，连接ae.由题知oe平面abcd，oae为oa与平面abcd所成的角在rtoae中，oe，ae，tanoae.(3)由(1)知oc平面aob.又oc平面aoc，平面aob平面aoc.即平面aob与平面aoc所成的角度为90.规律方法 空间角的求法求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算.但要注意角的范围.提醒：在求作线面角、面面角的平面角时，过直线上一点(或平面内一点)向另一个面作垂线，垂足落在什么地方是寻求空间角的关键.跟踪训练5如图11，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，abc是正三角形，ac与bd的交点m恰好是ac的中点，又paab4，cda120，点n在线段pb上，且pn.图11(1)求证：mn平面pdc；(2)求直线pb与平面pac所成角的正弦值解 (1)在正三角形abc中，bm2，bmac.在acd中，因为m为ac的中点，dmac，所以adcd.又cda120，所以dm，所以bmmd31.因为pa平面abcd，所以paab.又paab4，所以pb4，又pn，所以bnnp31，所以bnnpbmmd，所以mnpd.又mn平面pdc，pd平面pdc，所以mn平面pdc.(2)由(1)知bmac.又pa平面abcd，bm平面abcd，所以pabm，又paaca，因此bm平面pac.连接pm(图略)，则bpm就是直线pb与平面pac所成的角在rtpmb中，bm2，pb4，因此sinbpm，即直线pb与平面pac所成角的正弦值为.折叠问题 (2018全国卷)如图12，在平行四边形abcm中，abac3，acm90.以ac为折痕将acm折起，使点m到达点d的位置，且abda.图12(1)证明：平面acd平面abc；(2)q为线段ad上一点，p为线段bc上一点，且bpdqda，求三棱锥qabp的体积. 解 (1)由已知可得，bac90，baac.又baad，且ac平面acd，ad平面acd，acada，所以ab平面acd.又ab平面abc，所以平面acd平面abc.(2)由已知可得，dccmab3，da3.又bpdqda，所以bp2.作qeac，垂足为e，则qe綊dc.由已知及(1)可得dc平面abc，所以qe平面abc，qe1.因此，三棱锥qabp的体积为vqabpqesabp132sin 451. 规律方法 解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键.(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况，注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况等.跟踪训练6如图13，已知等腰梯形abcd中，abcd，adabcdbc，m是cd的中点n是ac与bm的交点，将bcm沿bm向上翻折成bpm，使平面bpm平面abmd. 图13(1)求证：abpn；(2)若e为pa的中点求证：en平面pdm.证明 (1)连接am，因为abcd，所以abcm.又m为cd的中点，abcd，所以abcm.所以四边形abcm为平