北京市石景山区2015-2016学年高三上学期期末考试数学理科试题及参考答案.doc

.石景山区20152016学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合，则（）A. 1 B. C. D.开始输出结束否i是偶数是是否2若变量满足约束条件,则的最大值为（）ABCD3右面的程序框图表示算法的运行结果是（ ）A. B. C. D. 4已知数列是等差数列，则前项和中最大的是（ ）A. B.或 C.或 D.5“”是直线与直线平行的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6若曲线上只有一个点到其焦点的距离为1，则的值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7如图，点为正方体的中心，点为面的中心，点为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影不可能是（ ） A B C D E FP A B C D F E8.如图，在等腰梯形中，分别是底边的中点，把四边形沿直线折起，使得面面，若动点平面，设与平面所成的角分别为（均不为0若，则动点的轨迹为( )A.直线B.椭圆C.圆D.抛物线第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 9.在复平面内，复数对应的点到原点的距离为_.10.的二项展开式中项的系数为_（用数字作答）11.在中，角的对边分别为.，则_. 12.在极坐标系中，设曲线和相交于点，则_. 13. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是_种.（用数字作答）14.股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多. （注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为_元，能够成交的股数为_.卖家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数200400500100买家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数600300300100三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题共13分）已知函数.（）求函数的最小正周期与单调增区间；（）求函数在上的最大值与最小值16（本小题共13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：成绩52657288666778908根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良（）写出这组数据的众数和中位数；（）将频率视为概率根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望17（本小题共14分）在四棱锥中，侧面底面，为中点，底面是直角梯形，.（）求证：平面；（）求证：平面；（）在线段上是否存在一点，使得二面角为？若存在,求的值；若不存在，请述明理由ABCDEP18.（本小题共13分）已知函数 (,为自然对数的底数). （）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值；（）求函数的极值；（）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值19.（本小题共14分）已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（）求椭圆的标准方程；（）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，.证明：经过线段的中点(其中为坐标原点) 20（本小题共13分）给定一个数列，在这个数列里，任取项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列称为数列的一个阶子数列已知数列的通项公式为（为常数），等差数列是数列的一个3阶子数列（）求的值；（）等差数列是的一个 阶子数列，且 (为常数，求证：；（）等比数列是的一个 阶子数列，求证：石景山区20152016学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案DDA B BCDC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 题号91011121314答案72 2.2，600三、解答题共6小题，共80分15（本小题共13分）解：. 2分（）的最小正周期为 4分 令，解得，所以函数的单调增区间为. 7分（）因为，所以，所以 ，于是 ，所以. 9分当且仅当时，取最小值. 11分当且仅当，即时最大值. 13分16（本小题共13分）解：（）这组数据的众数为86，中位数为86； 2分（）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为， 4分设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是优良的事件”为A，则； 6分（）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3 7分， 11分所以的分布列为0123 13分17（本小题共14分）解：（）取的中点，连结，因为为中点，所以，且，在梯形中，所以，四边形为平行四边形，所以， 2分因为平面，平面，所以平面. 4分（）平面底面，所以平面，所以. 5分如图，以为原点建立空间直角坐标系.则 6分，所以， 8分又由平面，可得，因为所以平面. 9分（）平面的法向量为， 10分，设，所以， 11分ABCDEPyxzQF设平面的法向量为，由，得，令所以， 12分所以， 13分注意到，得. 所以在线段上存在一点，使得二面角为，此时 14分18.（本小题共13分）解:()由,得. 2分又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. 4分(), 当时,为上的增函数,所以函数无极值. 6分当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值. 9分()当时, 令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解. 10分假设,此时, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. 12分又时,知方程在上没有实数解. 所以的最大值为. 13分解法二: ()()同解法一. ()当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解. 10分当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. 11分当时,方程(*)化为. 令,则有. 令,得, 当变化时,的变化情况如下表:当时,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为. 所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为. 13分19（本小题共14分）（）解：由已知可得， 2分解得， 所以椭圆的标准方程是. 4分（）证明：由（）可得，的坐标是，设点的坐标为，则直线的斜率. 5分当时，直线的斜率.直线的方程是.当时，直线的方程是，也符合的形式设，将直线的方程与椭圆的方程联立， 消去，得， 8分其判别式. 所以， . 10分设为的中点，则点的坐标为. 12分所以直线的斜率，又直线的斜率， 所以点在直线上，即经过线段的中点. 1