2013年华二冬令营数学试卷答案.pdf

学而思上海分校九年级产品部学而思上海分校九年级产品部 冲刺冲刺 1717 年自主招生之年自主招生之 20132013 年华二冬令营数学年华二冬令营数学试卷试卷 1 帽子函数 的图像如图所示 1 求此函数的解析式 2 若有抛物线 2 3 4 yxa a 求它与 帽子函数 图像的交点个数 3 请试写出一个抛物线解析式 使它与 帽子函数 图像有且只有 2 个交点 横坐标分别 为 5 7 2 2 解析 解析 1 2 1 1 1 2 x kxk y xkkxk 0a 时 无交点时 无交点 0a 时 一个交点时 一个交点 3 0 4 a 时 两个交点时 两个交点 考虑到 考虑到 3 4 a 时 抛物线时 抛物线 2 3 4 yx 与帽子函数交于与帽子函数交于 1 1 2 2 1 1 2 2 两点 两点 所以可以将所以可以将 2 3 4 yx 向右平移向右平移 3 3 个单位 即满足条件个单位 即满足条件 该抛物线解析式为该抛物线解析式为 23 3 4 yx 1 2 2 1 2 1 y x 0 学而思上海分校九年级产品部学而思上海分校九年级产品部 2 在一个 8 8 的正方形方格纸中 一个角剪去一个 2 2 的小正方形 问其余部分可否剪 成 15 块 L 型 如图 纸片 若能剪 给出剪切方法 若不能剪 请说明理由 解析 解析 一道基础的染色问题 一道基础的染色问题 如图进行黑白相间染色 那么如图进行黑白相间染色 那么 L L 型放入方格纸中 必定可型放入方格纸中 必定可 以盖住以盖住 1 1 个黑格子和个黑格子和 3 3 个白格子 或者个白格子 或者 3 3 个黑格子和个黑格子和 1 1 个白格子 个白格子 L L 形格子盖住的黑格子数形格子盖住的黑格子数 都是奇数个 所以都是奇数个 所以 1515 个个 L L 形盖住的黑格子也还是奇数个 而方格纸中有偶数个黑格子 矛形盖住的黑格子也还是奇数个 而方格纸中有偶数个黑格子 矛 盾 所以不能 盾 所以不能 3 n为正整数 123 Sn Sn 为一个由同一个数字组成的三位数 求 的值 解析 设该三位数为 解析 设该三位数为aaa 则 则 1 111 2 n n Sa 变形为变形为 123 37n na 考虑到考虑到a为整数 且为整数 且19a 只能只能 6a 36n 学而思上海分校九年级产品部学而思上海分校九年级产品部 4 寒山寺每隔 9 秒敲一次钟 第一次敲钟时 甲 乙两船分别向上 下游驶去 速度分别 为3 9 m sm s 当甲船听到第 108 声时 乙船只能听见第 声 300 Vm s 声 解析 解析 设第一次敲钟时的时刻设第一次敲钟时的时刻为为 0 0 秒 秒 则甲听到第则甲听到第 108108 声声的时刻为的时刻为 107 9 38 107 9972 300311 秒秒 设乙只能听到第设乙只能听到第k声 则乙听到第声 则乙听到第k声的时刻为声的时刻为 199900900 19 30099797 kk k 则有则有 9009008 972 979711 k 解得 解得105 8k 所以乙只能听到第所以乙只能听到第 105105 声声 5 对于满足 22 3 3 6 x xyx y y 的所有实数对使最大 这个最大值为 解析 设 解析 设 x k y 则 则xky 代入原式 得代入原式 得 22 336kyy 化为化为 22 166120kyky 要使要使y有实数解 则有实数解 则 2 2 664810kk 解得解得32 232 2k 所以最大值为所以最大值为32 2 注 本试卷为冬令营考卷 主要目的为筛选竞赛考生 所以难度较高 2 8 9 10 等题均需 要一定的竞赛背景 难度超出一般自招难度 不必过于较真 学而思上海分校九年级产品部学而思上海分校九年级产品部 6 方程21xa 有三个整数解 求a的值 解析 解析 21f xx 的图像的图像如图所示 只有如图所示 只有1y 与与 f x有三个整数解 有三个整数解 所以所以1a 当然也可以用分类讨论的方法做 当然也可以用分类讨论的方法做 7 若方程 2 2 1 210 xaxa 有一个小于 1 的正数根 那么实数a的取值范围 解析 对原式进行十字相乘可得 解析 对原式进行十字相乘可得 1210 xxa 所以所以1x 或或21a 方程有一个小于 方程有一个小于 1 1 的正数根的正数根 021 1a 解得 解得 1 1 2 a 8 方程 22222 xyzwu 共有 组整数解 解析 解析 无数组整数解 取无数组整数解 取 0 0 0 x y z w uk k 其中 其中k为任意整数为任意整数 学而思上海分校九年级产品部学而思上海分校九年级产品部 9 正方形ABCD中有一点E 使E到ABC 的距离之和最小为2 6 求此正方 形的边长 解析 费马点问题 解析 费马点问题 是指位于三角形内且是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短到三角形三个顶点距离之和最短的点 的点 简证 将简证 将ABP 绕点绕点A旋转旋转60 至至 AB P 则 则 APP 为正三角形为正三角形 距离之和距离之和 PAPBPCPPP BPCB C 当当 B P P C四点共线时 四点共线时 成立 此时 成立 此时120APBBPCCPA 所以费马点所以费马点该点所对三角形三边的张角相等 均为该点所对三角形三边的张角相等 均为120 对于此题 点对于此题 点 E E 应满足应满足120AEBBECCEA 设设EHa 则 则2AEa 3AHBHa 31BEa 23123326EAEBECaaaa 解得解得 6 3 a 边长 边长62ABa 10 9 名同学分别投票给 杨坤组 与 那英组 最终 杨坤组 5 票 那英组 4 票 问 杨坤组 的票数始终压过 那英组 的概率为 解析 解析 满足条件的情况数为满足条件的情况数为