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积分中值定理的推广及应用张艳丽德州学院 2010级信息与计算科学摘要 论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理的应用。我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间讨论函数的积分中值定理情形转换为在开区间上讨论函数上的积分中值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。关键词 积分中值定理；推广； 应用积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的，它在数学分析的学习过程占有很重要的地位，并且对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述一下。1、积分中值定理的证明1.1 定积分中值定理定理（定积分中值定理）：如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一个点，使下式 成立。证明： 因为f(x)在a,b上连续，所以f(x)在a,b上有最大值M和最小值m,即，我们对不等式进行积可得 由积分性质可知 由于，对不等式同时除以可得。此式表明介于函数的最大值和最小值之间。由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间上至少存在一点，使得函数在点处的值与这个数相等，即应该有，成立，将上式两端乘以即可得到，命题得证。备注1：很显然，积分中值定理中公式 （在与之间）不论或都是成立的。1.2 积分第一中值定理定理（第一积分中值定理）：如果函数在闭区间上连续，在上不变号，并且在上是可积的，则在上至少存在一点，使得成立。证明：由于在上不变号，我们不妨假设，并且记在上的最大值和最小值为和，即，将不等式两边同乘以可知，此时对于任意的都有成立。对上式在上进行积分，可得。此时在之间必存在数值，使得，即有 成立。由于在区间上是连续的，则在上必定存在一点，使成立。此时即可得到，命题得证。1.3 积分第二中值定理 定理（积分第二中值定理）：如果函数在闭区间上可积，而在区间上单调，则在上至少存在一点，使下式成立 （2-2）特别地，如果在区间上单调上升且 ，那么存在，使下式成立 （2-3）如果在区间上单调下降且，那么存在，使下式成立 （2-4）证明：由题设条件知在区间上都是可积的，由积分性质可知也是可积的。我们先证明（2-3）式，即在非负、且在区间上单调上升的情形下加以证明。 对于（2-4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2-2）式。在区间上取一系列分点使，记，其中为在上的幅度，即，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下等份，并且记，。则，因为在上可积，且区间是有限的，所以在上有界，此时我们不妨假设。估计如下： 由于可积，所以当时，有，从而有，从而可知我们记，由于函数在闭区间上可积，那么函数是上的连续函数，并且有最大值和最小值和，记为，很显然，从而 因为是非负的，并且在区间上单调上升，即有、成立，所以有下式成立。即有 成立。从而可以得到，其中满足。由于函数连续，则在之间存在一点，使成立，从而有公式（2-3）成立，即成立，（2-3）式得证。对于单调下降且的情形即公式（2-4）的证明过程是类似的，证明略。对于是一般单调上升情形，我们作辅助函数，其中为单调上升且，此时公式（2-3）对于是成立的，即存在使成立，这就证明了公式（2-2）。对于是一般单调下降的情形，此时应用公式（2-4），同样可得到（2-2）式，此命题得证。2. 积分中值定理的推广2.1定积分中值定理的推广定理（推广的定积分中值定理） ：如果函数在闭区间连续，则在开区间至少存在一个点，使得下式成立。证明：作辅助函数如下：。由于在闭区间连续，则在上可微，且有成立。由微分中值定理可知：至少存在一点，使得成立。并且有，此时即可得到下式， 命题得证。2.2定积分第一中值定理的推广定理（推广的定积分第一中值定理）： 若函数是闭区间上可积函数，在上可积且不变号，则在开区间上至少存在一点，使得成立。证明：由于函数在闭区间上是可积的，在上可积且不变号，令，很显然在上连续。并且， 。由柯西中值定理即可得到，即，命题得证。3.3 推广定积分第二中值定理定理（推广定积分第二中值定理）： 如果函数在闭区间可积，在区间上可积且不变号，则在上必存在一点，使得 成立。证明过程详见参考文献1。3 积分中值定理的应用3.1 估计积分值例1 估计的积分解：由于，即。于是此时可得到估计的积分值为 。例2 估计的积分解：设，则，其次，假设和，则单调下降，并且有。于是，其中，。因此。例3 证明等式。证明：由第一积分中值定理可知，其中位于和之间的某个值。3.2 求含定积分的极限例4 求极限解：利用广义积分中值定理则 3.3 确定积分号例5确定积分的符号解：由积分中值定理可知其中。又在上不恒为0，则有，即的符号为正号。3.4 比较积分大小例6 比较积分和的大小解：当时，从而有，于是我们有，即小于等于。3.5 证明函数的单调性例7设函数在上连续，其中，试证：在内，若为非减函数，则必为非增函数。证明：利用分歩积分法，将化为对上式求导，可以得到：。由积分中值定理，可得：。若为非减函数，则有成立，因此可以得到，故为非增函数，命题得证。3.6 证明定理例8 证明（阿贝尔判别法）如果在上可积，单调有界，那么收敛。证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间上（其中），存在，使得。因为在上可积，则收敛，所以对于任何，存在，使得当时，成立。又由，根据柯西收敛原理可推知积分收敛。例9 证明（狄里克莱判别法）如果有界，即存在，使得单调且当时