人教A版选修21 3.2 空间向量与空间角、距离 第3课时 课时作业.doc

第三章3.2第3课时 a级基础巩固一、选择题1在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)、(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为(d)abc d以上都不对解析，这个二面角的余弦值为或2在正方体abcda1b1c1d1中，e是c1c的中点，则直线be与平面b1bd所成的角的正弦值为(b)a b c d解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则d(0,0,0)、b(2,2,0)、b1(2,2,2)、e(0,2,1)(2，2,0)、(0,0,2)、(2,0,1)设平面b1bd的法向量为n(x，y，z)n，n，令y1，则n(1,1,0)cosn，设直线be与平面b1bd所成角为，则sin|cosn，|3. 已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，e是aa1中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为(c)a b c d解析如图，连接a1b，则a1bd1c，a1be为异面直线be与cd1所成的角在a1be中，由余弦定理得cosa1be，故选c4正四棱锥sabcd中，saab2，则直线ac与平面sbc所成角的正弦值为(c)a b c d解析建立如图所示的空间直角坐标系oxyz由题意得a(1，1,0)、c(1,1,0)、b(1,1,0)、s(0,0，)(2，2,0)，(1，1，)，(1，1，)设平面sbc的一个法向量n(x，y，z)，则，令z，得x0，y2，n(0,2，)设直线ac与平面sbc所成的角为，则sin|cosn，|5已知向量n(2,0,1)为平面的法向量，点a(1,2,1)在内，则 p(1,2，2)到的距离为(a)abc2d解析(2,0,3)，点p到平面的距离为d6(福建泉州市普通高中20172018学年质量检测)正方体abcda1b1c1d1中，动点m在线段a1c上，e，f分别为dd1，ad的中点若异面直线ef与bm所成的角为，则的取值范围为(a)a， b，c， d，解析以d点为原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设da2，易得(1,0，1)，设(2，2，2)(01)，(22，2，2)，则cos|cos|，即cos(01)，当时，cos取到最大值，当1时，cos取到最小值，所以的取值范围为，故选a二、填空题7如图，已知在一个二面角的棱上有两个点a、b，线段ac、bd分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱ab，ab4cm，ac6cm，bd8cm，cd2cm，则这个二面角的度数为_60_.解析设，caab，abbd，0，180，|2()2|2|2|22|cos(180)(2)2624282268(cos)，cos，60因此，所求二面角的度数为608如图，在正三棱柱abca1b1c1中，已知ab1，点d在棱bb1上，且bd1，则ad与平面aa1c1c所成角的正弦值为_.解析解法一：取ac、a1c1的中点m、m1，连接mm1、bm.过d作dnbm，则容易证明dn平面aa1c1c连接an，则dan就是ad与平面aa1c1c所成的角在rtdan中，sindan解法二：取ac、a1c1中点o、e，则obac，oe平面abc，以o为原点oa、ob、oe为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形abc中，bmab，a，b，d，又平面aa1c1c的法向量为e(0,1,0)，设直线ad与平面aa1c1c所成角为，则sin|cos，e|解法三：设b，a，c，由条件知ab，ac0，bc0，又cb，平面aa1c1c的法向量(ab)设直线ad与平面aa1c1c成角为，则sin|cos，|，(cb)(ab)acabbc|b|2|2(cb)2|c|2|b|22bc2，|，|2(ab)2(|a|2|b|22ab)，|，sin三、解答题9(2018全国卷理，18)如图，四边形abcd为正方形，e，f分别为ad，bc的中点，以df为折痕把dfc折起，使点c到达点p的位置，且pfbf.(1)证明：平面pef平面abfd；(2)求dp与平面abfd所成角的正弦值解析(1)证明：由已知可得bfpf，bfef，pfeff，所以bf平面pef又bf平面abfd，所以平面pef平面abfd(2)解：如图，作phef，垂足为h由(1)得，ph平面abfd以h为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系hxyz由(1)可得，depe又dp2，de1，所以pe又pf1，ef2，所以pepf所以ph，eh则h(0,0,0)，p，d，又为平面abfd的法向量，设dp与平面abfd所成角为，则sin 所以dp与平面abfd所成角的正弦值为10如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab60，ab2ad2，pd底面abcd(1)证明：pabd；(2)若pdad ，求二面角apbc的余弦值解析(1)证明：因为dab60，ab2ad2，由余弦定理得bd，从而bd2ad2ab2，故bdad又pd底面abcd，可得bdpd所以bd平面pad故pabd(2)如图，以d为坐标原点，设ad的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐 标系dxyz.则a(1,0,0), b(0，0)，c(1 ，0)，p(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0).(1,0,0)，设平面pab的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面pbc的法向量为m，则可取m(0，1，)cosm，n故二面角apbc的余弦值为b级素养提升一、选择题1已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则cd与平面bdc1所成角的正弦值等于(a)a b c d解析如图，连接c1o，过c作cmc1obd平面c1co，bdcm，c1obdo，cm平面bc1d，cdm即为cd与平面bdc1所成的角，令ab1，aa12，co，c1o，由cmc1occ1co得，cm，sincdm2如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别为a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn所成的角的余弦值为(d)a bc d解析解法一：，()()而|同理，|.如令为所求角，则cos.应选d解法二：如图以d为原点，分别以da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)、m(1，1)、c(0,1,0)、n(1,1，)，(1,0,0)(0，1)，(1,1，)(0,1,0)(1,0，)故0101，|，|cos3正方体abcda1b1c1d1中，二面角abd1b1的大小为(c)a30b60c120d150 解析如图，以c为原点建立空间直角坐标系cxyz，设正方体的棱长为a，则a(a，a,0)，b(a,0,0)，d1(0，a，a)，b1(a,0，a)，(0，a,0)，(a，a，a)，(0,0，a)，设平面abd1的法向量为n(x，y，z)，则n(x，y，z)(0，a,0)ay0，n(x，y，z)(a，a，a)axayaz0，a0，y0，xz，令z1，则n(1,0,1)，同理平面b1bd1的法向量m(1，1,0)，cosn，m，而二面角abd1b1为钝角，故为1204在正方体abcda1b1c1d1中，若f、g分别是棱ab、cc1的中点，则直线fg与平面a1acc1所成角的正弦值等于(d)a b c d解析解法一：如图，过f作bd的平行线交ac于m，则mgf即为所求设正方体棱长为1，mf，gf，sinmgf解法二：如图，分别以ab、ad、aa1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面acc1a1的一个法向量为n(1,1,0)，f(，0,0)、g(1,1，)，设直线fg与平面a1acc1所成角，则sin|cosn，|二、填空题5在正方体abcda1b1c1d1中，则a1b与平面a1b1cd所成角的大小为_30_.解析解法一：连接bc1，设与b1c交于o点，连接a1obc1b1c，a1b1bc1，a1b1b1cb1，bc1平面a1b1c，a1b在平面a1b1cd内的射影为a1o.oa1b就是a1b与平面a1b1cd所成的角，设正方体的棱长为1在rta1ob中，a1b，bo，sinoa1b.oa1b30即a1b与平面a1b1cd所成的角为30解法二：以d为原点，da、dc、dd1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则a1(1，0,1)、c(0,1,0)(1,0,1)、(0,1,0)设平面a1b1cd的一个法向量为n(x，y，z)，则，令z1得x1n(1,0，1)，又b(1,1,0)，(0,1，1)，cosn，n，60，a1b与平面a1b1cd所成的角为306(2017福州八县一中高二期末)在直三棱柱abca1b1c1中，bac，abacaa11，已知g和e分别为a1b1和cc1的中点，d与f分别为线段ac和ab上的动点(不包括端点)，若gdef，则线段df的长度的取值范围为_，1)_.解析建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，e(0,1，)，g(，0,1)，f(x,0,0)，d(0，y,0)由于gdef，所以x2y10，df 当y时，线段df长度的最小值是 当y1时，线段df长度的最大值是1，而不包括端点，故y1不能取；故答案为：，1)三、解答题7(2018全国卷理，20)如图，在三棱锥pabc中，abbc2，papbpcac4，o为ac的中点.(1)证明：po平面abc；(2)若点m在棱bc上，且二面角mpac为30，求pc与平面pam所成角的正弦值解析(1)证明：因为papcac4，o为ac的中点，所以opac，且op2如图，连接ob因为abbcac，所以abc为等腰直角三角形，且obac，obac2由op2ob2pb2知poob由opob，opac，obaco，得po平面abc(2)解：如图，以o为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系oxyz由已知得o(0,0,0)，b(2,0,0)，a(0，2,0)，c(0,2,0)，p(0,0,2)，(0,2,2)取平面pac的一个法向量(2,0,0)设m(a,2a,0)(0a2)，则(a,4a,0)设平面pam的法向量为n(x，y，z)由n0，n0得可取ya，得平面pam的一个法向量为n(a4)，a，a)，所以cos，n由已知可得|cos，n|cos 30，所以，解得a4(舍去)或a所以n又(0,2，2)，所以cos，n所以pc与平面pam所成角的正弦值为8(2017全国理，18)如图，在四棱锥pabcd中，abcd，且bapcdp90. (1)证明：平面pab平面pad；(2)若papdabdc，apd90，求二面角apbc的余弦值解析(1)证明：由已知bapcdp90，得abap，cdpd因为abcd，所以abpd又apdpp，所以ab平面pad因为ab平面pab，所以平面pab平面pad(2)解：在平面pad内作pfad，垂足为点f由(1)可知，ab平面pad，故abpf，可得pf平面abcd以f为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系fxyz由(1)及已知可得a(，0,0)，p(0,0，)，b(，1,0)，c(，1,0)，所以(，1，)，(，0,0)，(，0，)，(0,1,0)设n(x1，y1，z1)是平面pcb的一个法向量，则即所以可取n(0，1，)设m(x2，y2，z2)是平面pab的一个法向量，则即所以可取m(1,0,1)，则cosn，m所以二面角apbc的余弦值为c级能力拔高(2017福建省龙岩市高二期末)如图，在直角梯形pbcd中，pbdc，dcbc，点a在边pb上，adbc，pb3bc6，现沿ad将pad折起，使平面pad平面abcd(1)当cdbc时，证明：直线bd平面pac；(2)当三棱锥pabd的体积取得最大值时，求平面pbd与平面pcd所成锐二面角的余弦值解析证明：(1)在直角梯形pbcd中，adbc，abdc，dcbc，当cdbc时，四边形abcd是正方形，连结ac、bd，则bdac，平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，paad，pa平面abcd，故bdpa，又acpaa，bd平面pac(2)设dct，t(0,6)