人教B版选修21 3.2.4 二面角及其度量 作业.doc

课时分层作业(二十五)二面角及其度量(建议用时：45分钟)基础达标练1已知平面内有一个以ab为直径的圆，pa，点c在圆周上(异于点a，b)，点d，e分别是点a在pc，pb上的射影，则()aade是二面角apcb的平面角baed是二面角apbc的平面角cdae是二面角bpac的平面角dacb是二面角apcb的平面角b由二面角的定义及三垂线定理，知选b.2已知abc和bcd均为边长为a的等边三角形，且ada，则二面角abcd的大小为()【导学号：33242311】a30 b45c60 d90c如图取bc的中点为e，连接ae、de，由题意得aebc，debc，且aedea，又ada，aed60，即二面角abcd的大小为60.3如图3238所示，在正四棱锥pabcd中，若pac的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为8，则侧面与底面所成的二面角为()图3238a.bc.dd设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为，高为h，斜高为h，则，sin ，即.4已知二面角l中，平面的一个法向量为n1，平面的一个法向量为n2，则二面角l的大小为()【导学号：33242312】a120b150c30或150d60或120c设所求二面角的大小为，则|cos |，所以30或150.5如图3239所示，p是二面角ab棱上的一点，分别在，平面内引射线pm，pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为()图3239a60 b70 c80 d90d不妨设pma，pnb，作meab交ab于点e，nfab交ab于点f(图略)，因为epmfpn45，故pe，pf，于是()()abcos 60acos 45bcos 450.因为em，fn分别是，内的两条与棱ab垂直的线段，所以em与fn之间的夹角就是所求二面角的大小，所以二面角ab的大小为90.6若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是_60或120设二面角大小为，由题意可知cos ，所以60或120.7若p是abc所在平面外一点，且pbc和abc都是边长为2的正三角形，pa，则二面角pbca的大小为_90取bc的中点o，连接po，ao(图略)，则poa就是二面角pbca的平面角又poao，pa，所以poa90.8在空间四面体oabc中，oboc，aobaoc，则cos，的值为_【导学号：33242313】0()|cos|cos|(|)0.cos0.9如图3240所示，在四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1平面abcd，平面abcd是一个直角梯形，abad，ab，cd为梯形的两腰，且abadaa1a.图3240(1)若截面acd1的面积为s，求点d到平面acd1的距离；(2)当为何值时，平面ab1c平面ab1d1?解(1)由vv，过c作cead，垂足为e.aa1平面abcd，平面abcd平面aa1d1d，ce平面aa1d1d，cea是c到平面add1的距离，设点d到平面acd1的距离为h，由sha2a，得h.(2)分别以a1b1，a1d1，a1a所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则a1(0,0,0)，a(0,0，a)，b1(a,0,0)，设c(a，b，a)，且n1(x，y，z)是平面ab1c的法向量，(a,0，a)，(a，b,0)则n10，n10，即axaz0，axby0，得zx，yx，取x1，则y，z1，则n1为平面ab1c的一个法向量同理可得平面ab1d1的一个法向量为n2(1,1,1)若平面ab1c平面ab1d1，则n1n20，2，即当2时，平面ab1c平面ab1d1.10如图3241所示，四棱锥pabcd中，侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd，abbcad，badabc90，e是pd的中点图3241(1)证明：直线ce平面pab；(2)点m在棱pc上，且直线bm与底面abcd所成角为45，求二面角mabd的余弦值. 【导学号：33242314】解(1)证明：取pa的中点f，连接ef，bf.因为e是pd的中点，所以efad，efad.由badabc90得bcad.又bcad，所以efbc，四边形bcef是平行四边形，cebf.又bf平面pab，ce平面pab，故ce平面pab.(2)由已知，得baad，以a为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，p(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设m(x，y，z)(0x1)，则 (x1，y，z)，(x，y1，z)因为bm与底面abcd所成的角为45，而n(0,0,1)是底面abcd的法向量，所以|cos，n|sin 45，即，即(x1)2y2z20. 又m在棱pc上，设，则x，y1，z. 由解得(舍去)，或所以m，从而.设m(x0，y0，z0)是平面abm的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.因此二面角mabd的余弦值为.能力提升练1如图3242所示，已知点p为菱形abcd外一点，且pa平面abcd，paadac，点f为pc中点，则二面角cbfd的正切值为()图3242a.bc.dd如图所示，连接bd，acbdo，连接of.以o为原点，ob、oc、of所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系oxyz.设paadac1，则bd.所以b，f，c，d.结合图形可知，且为平面bof的一个法向量，由，可求得平面bcf的一个法向量n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.2在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的二面角的余弦值为() 【导学号：33242315】abc.db建系如图，设正方体棱长为1，则d(0,0,0)、a1(1,0,1)、e.(1,0,1)，.设平面a1ed的一个法向量为n(x，y，z)则.令x1，则z1，y，n.又平面abcd的一个法向量为(0,0,1)cosn，.又平面a1ed与平面abcd所成的二面角为锐角，平面a1ed与平面abcd所成二面角的余弦值为.3已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于_底面对角线长为2，底面边长为2，从而利用体积得四棱锥的高为3，所求二面角的正切为.侧面与底面所成的二面角为.4已知正四棱锥的底面边长为2，高为3.则侧面与底面所成的二面角等于_60如图，四棱锥pabcd为正四棱锥，连接ac、bd相交于点o，连接po，则po平面abcd.作oecd，连接pe，则peo即为侧面与底面所成二面角的平面角由题意知po3，oe，tanpeo.peo60.5.如图3243所示，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形abcd(及其内部)以ab边所在直线为旋转轴旋转120得到的，g是的中点图3243(1)设p是上的一点，且apbe，求cbp的大小；(2)当ab3，ad2时，求二面角eagc的大小. 【导学号：33242316】解(1)因为apbe，abbe，ab，ap平面abp，abapa，所以be平面abp.又bp平面abp，所以bebp.又ebc120，所以cbp30.(2)法一：如图，取的中点h，连接eh，gh，ch.因为ebc120，所以四边形behc为菱形，所以aegeacgc.取ag的中点m，连接em，cm，ec，则emag，cmag，所以emc为所求二面角的平面角又am1，所以emcm2.在bec中，由于ebc120，由余弦定理得ec22222222cos 12012，所以ec2，所以emc为等边三角形，故所求的角为60.法二：以b为坐标原点，分别以be，bp，ba所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得a(0,0,3