人教A版选修22 2.2.1综合法和分析法 教案.doc

教学设计22直接证明与间接证明22.1综合法和分析法教材分析在以前的学习中，学生已经能用综合法和分析法证明数学问题，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚本节内容结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯课时分配2课时第1课时综合法，第2课时分析法第1课时教学目标1知识与技能目标(1)理解综合法证明的概念；(2)能熟练地运用综合法证明数学问题2过程与方法目标(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图3情感、态度与价值观(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯重点难点重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；(2)了解综合法的思考过程、特点难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明请同学们证明：已知a，b0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流活动结果：(学生板书证明过程)证明：因为b2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.设计意图引导学生应用不等式证明以上问题，体会综合法证明的思考过程，为引出综合法的定义做准备 提出问题：请同学们回顾，你证明这道题的思维过程活动设计：学生自由发言教师活动：整理学生发言，得到证明上题的思维过程首先，分析待证不等式的特点：不等式右端是3个数a，b，c乘积的四倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积，据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式两端出现相同的形式；其次，寻找转化的依据及证明中要用的知识，本题应用不等式x2y22xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据；最后，给出证明即可(在总结证明上题思维过程的同时，向学生灌输解决问题先粗后细，先框架，后具体的思想)这样，我们可以把上题的证明过程概括为：从已知条件、不等式x2y22xy和不等式的基本性质出发，通过推理得出结论成立活动结果：综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法设计意图让学生先表达综合法证明的特点，但他们对综合法的内涵和特点表达不一定非常清楚，因此再由老师整理出综合法证明的思维特点来，进而将问题一般化，得到综合法的定义 例1在abc中，三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：abc为等边三角形思路分析：本题首先把已知条件进行语言转换，即将a，b，c成等差数列转化为2bac，a，b，c成等比数列转化为b2ac，接着把隐含条件显性化，将a，b，c为abc三个内角明确表示为abc，然后寻找条件与结论的联系；利用余弦定理可以把边和角联系起来，建立边和角的关系，进而判断三角形的形状这样，就可以尝试直接从已知条件和余弦定理出发，运用综合法来推导出结论证明：由a，b，c成等差数列，有2bac，由a，b，c为abc的三个内角，所以abc.由，得b，由a，b，c成等比数列，有b2ac，由余弦定理及，可得b2a2c22accosba2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，从而ac，所以ac.由，得abc，所以abc为等边三角形点评：在证明数学命题时，经常要把已知条件进行语言转换，把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要把命题中的隐含条件显性化，然后寻找条件与结论的联系，最后运用综合法来推导结论巩固练习设ab0，n为偶数，证明.证明：，(1)当a0，b0时，(anbn)(an1bn1)0，(ab)n0，所以0，故.(2)当ab为负值时，不妨设a0，b0，所以a|b|.又n是偶数，所以(anbn)(an1bn1)0.又(ab)n0，故0，即.综合(1)(2)可知，成立(1)由于综合法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“顺推证法”或“由因导果法”(2)框图表示p表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，q表示要证明的结论2如图，在三棱锥sabc中，侧面sab与侧面sac均为等边三角形，bac90，o为bc中点证明so平面abc.思路分析：从已有的定义、定理、公理出发，推出要证的结论证明：由题设abacsbscsa，连接oa，abc为等腰直角三角形，所以oaobocsa，且aobc.又因为sbc与abc全等，故有sobc，且sosa，从而oa2so2sa2.所以soa为直角三角形，所以soao.又aoboo，所以so平面abc.点评：让学生进一步熟悉综合法证明的思维过程与特点，学习综合法证明的规范证明过程，同时熟悉综合法证明的操作流程图巩固练习已知a，b，cr，求证：(abc)()4.证明：由于a，b，cr，则(abc)()112()224.变练演编已知x，y，zr，a，b，cr，求证：x2y2z22(xyyzzx)思路分析：抓住要证明式子的结构特征，合理运用均值不等式，用综合法证明上述不等式证明：由于x，y，zr，a，b，cr，则x2y2z2x2x2y2y2z2z2(x2y2)(x2z2)(y2z2)2xy2xz2yz2(xyxzyz)，所以有x2y2z22(xyyzzx)点评：学会结合条件及所证的结论，寻找到解决问题所需的知识，充分体会综合法证明不等式的方法，规范解题步骤达标检测1综合法：(1)一般的，利用_，经过_最后_，这种证明方法叫做综合法2已知a，b，c均大于1，且logaclogbc4，则下列各式中，一定正确的是()aacb babc cbca dabc答案：1.已知条件和某些数学定义，公理，定理一系列的推理论证推导出证明的结论成立2b1综合法证明是证明题中常用的方法从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论2综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来3综合法可用于证明与函数、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题课本本节练习1、3.基础练习1abc中，已知3b2asinb，且cosacosc，求证：abc为等边三角形证明：由3b2asinb3sinb2sinasinbsinaa或.由cosacoscac，且abc，所以acb.所以abc为等边三角形拓展练习2已知函数f(x)x2alnx(x0)，f(x)的导函数是f(x)对任意两个不相等的正数x1、x2，证明当a0时，f()证明：由f(x)x2alnx，得(xx)()(lnx1lnx2)(xx)aln.f()()2aln，x1x2且都为正数，有(xx)(xx)2x1x2()2. 又(x1x2)2(xx)2x1x24x1x2，. ，lnaln. 由、得f()本节通过具体证明实例，使学生了解直接证明的基本方法综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力；并能用综合法证明数列、几何等有关内容本节重点突出学生的自主性，教师主要是点拨思路，与知识升华，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，加深对知识的理解和提高证明问题的能力例1已知a，b，c为正实数，abc1，求证：.思路分析：此题是应用综合法证明不等式问题，需要用到不等式中的均值不等式的知识来进行证明证明：a，b，cr，ab2，bc2，ca2.2(abc)2()abc2()3(abc)3.()23.点评：运用综合法证明不等式，关键是要由已知条件寻找到正确的所需知识，进而来证明问题例2设数列an的前n项和为sn，且(3m)sn2manm3(nn)，其中m为常数，且m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，bnf(bn1)(nn，n2)，求证：为等差数列思路分析：本题要求证明数列为等差、等比数列，恰当处理递推关系是关键证明：(1)由(3m)sn2manm3(nn)，得(3m)sn12man1m3，两式相减得(3m)an12man，由于m3，.an是等比数列(2)b1a1，qf(m)，nn，n2时，bnf(bn1).bnbn13bn3bn1.是首项为1，公差为的等差数列点评：本题主要考查利用综合法和数列的定义，合理处理递推关系的数列证明问题例3在abc中，内角a、b、c的对边长分别为a、b、c，已知a2c22b，且sinacosc3cosasinc，求b.思路分析：此题事实上比较简单，但学生入手却有些不知所措对已知条件(1)a2c22b左侧是二次的，右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件(2)sinacosc3cosasinc，过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口解：由余弦定理，得a2c2b22bccosa.又a2c22b，b0，b2ccosa2.又sinacosc3cosasinc，sinacosccosasinc4cosasinc，sin(ac)4cosasinc，即sinb4cosasinc.由正弦定理，得sinbsinc，故b4ccosa.由，解得b4.点评：在解题中应注意总结，提高对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力(设计者：莫静波)第2课时教学目标1知识与技能目标(1)理解分析法证明的概念；(2)能熟练地运用分析法证明数学问题；(3)综合法与分析法结合使用证明数学问题2过程与方法目标(1)通过实例引导学生理解分析法的思考过程与特点；(2)引导学生归纳出分析法证明的操作流程图；(3)通过实例引导学生灵活选用证明的方法3情感、态度与价值观(1)通过分析法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；(2)通过分析法的学习，养成审慎思维的习惯；(3)通过证明方法的选择，与两种证明方法的结合使用，培养学生综合解决问题的能力重点难点重点：(1)结合已经学过的数学实例，理解分析法；(2)了解分析法的思考过程、特点难点：(1)对分析法的思考过程、特点的概括；(2)运用分析法证明数列、几何等有关内容我们在上一节研究了综合法，掌握了综合法的思考过程与特点，归纳出了综合法证明的操作流程图，知道综合法是利用已知条件和某些数学定义公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立然而有些证明问题条件较少，从条件入手很难证明，我们就得转变证明思路，通过对结论的分析来寻找证明的途径这一节我们将通过数学实例，来研究一种与综合法思维过程相对的证明方法分析法提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明请同学们回顾一下：基本不等式(a0，b0)的证明过程活动设计：学生先独立思考、回顾，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流活动成果：(学生先表述证明思考过程，然后板书证明过程)让学生分析证明上题过程：要证明，就需要证明ab2，只需证ab20，只需证()20，由于()20显然成立，因此原不等式成立学情预测：学生也有可能用其他的证明方法设计意图给出分析法实例，为学生理解分析法的思考过程和特点作准备，为引出分析法的定义打基础 提出问题：同学们能分析一下这个证明的思考过程和特点吗？活动设计：学生思考、讨论，学生自由发言整理学生发言，得到证明上题的思维过程第一、从待证的不等式条件不易发现证明的出发点，因此是从结论出发开始证明，其次、寻找使证明结论的成立条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件活动成果：分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法学情预测：可能出现其他证明方法或者用分析法但是不完善，不规范设计意图让学生先表述分析法证明的特点，但他们对分析法的内涵和特点表达不一定非常清楚，因此再由老师整理出分析法证明的思维特点来，进而将问题一般化，得到分析法的定义 例1求证：2.思路分析：从待证的不等式条件不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件证明：因为和2都是正数，所以要证2，只需证()2(2)2，展开得10220，只需证5，只需证2125，因为2125成立，所以0，求证：a2.证明：要证a2，只需证2a.a0，两边均大于零，因此只需证(2)2(a)2.只需证a244a2222(a)，只需证(a)，只需证a2(a22)，即证a22，显然成立原不等式成立拓展练习2若sincos1，求证：sin6cos61.证明：因为sincos1，所以(sincos)21，所以sincos0.因为sin6cos6(sin2cos2)(sin4sin2cos2cos4)13sin2cos2，因此要证sin6cos61，即证13sin2cos21，即证sincos0.与上式相同，于是问题得证本节通过具体证明实例，使学生了解直接证明的基本方法分析法，了解分析法的思维过程、特点；同时对比了分析法与综合法的证明特点，以及两种证明方法综合证明问题培养学生的数学计算能力、分析能力、逻辑推理能力本节重点突出学生的自主性，教师主要是点拨思路与知识升华，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，加深对知识的理解和提高证明问题的能力1abc的三个内角a、b、c成等差数列，求证：.思路分析：此题应用分析法证明，需要与解三角形中的余弦定理结合证明：要证，即需证3.即证1.即需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2.abc的三个内角a、b、c成等差数列，b60.由余弦定理，有b2c2a22cacos60，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命题得证点评：运用分析法证明的关键是重在分析，使结论转化到那些基本知识上2已知a、b、c为互不相等的正数且abc1，求证：.思路分析：不容易确定已知a、b、c为互不相等的正数且abc1的条件如何在证明中使用它们，因而用综合法比较困难，所以选用分析法证明：要证原不等式成立，即证bcacab，也就是证明22222；acab22；abbc22；相加得2220，b0，求证：a(b2c2)b(